Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 360 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Решите уравнения:}
\)
\(
1) \ 6(\cos(x))^2 + 5\sin(x) — 7 = 0
\)
\(
2) \ \cos(2x) — 3\sin(x) = 2
\)
\(
3) \ (\sin(3x))^2 + 3\cos(3x) = 3
\)
\(
4) \ 2\tan\left(\frac{x}{3}\right) + 2\cot\left(\frac{x}{3}\right) = 5
\)
1.
\[
6(\cos(x))^2 + 5\sin(x) — 7 = 0; \quad 6 — 6(\sin(x))^2 + 5\sin(x) — 7 = 0; \quad 6(\sin(x))^2 — 5\sin(x) + 1 = 0;
\]
\[
D = 5^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1
\]
\[
\sin(x_1) = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{1}{2}, \quad \sin(x_2) = \frac{5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{1}{3};
\]
\[
x_1 = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad x_2 = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n;
\]
2.
\[
(\sin(3x))^2 + 3\cos(3x) = 3;
\]
\[
1 — (\cos(3x))^2 + 3\cos(3x) = 3; \quad (\cos(3x))^2 — 3\cos(3x) + 2 = 0;
\]
\[
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1
\]
\[
\cos(3x_1) = \frac{3 + 1}{2} = 2, \quad \cos(3x_2) = \frac{3 — 1}{2} = 1;
\]
\[
3x_1 \in \{0, \pm 2\pi n\}, \quad x_1 \in \{0, \pm \frac{2\pi n}{3}\};
\]
\[
3) \ \cos(2x) — 3\sin(x) = 2; \quad 1 — 2(\sin(x))^2 — 3\sin(x) = 2;
\]
\[
2(\sin(x))^2 + 3\sin(x) + 1 = 0;
\]
\[
D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1
\]
\[
\sin(x_1) = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = -1, \quad \sin(x_2) = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2};
\]
\[
x_1 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x_2 = (-1)^n\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n;
\]
\[
4) \ 2\tan\left(\frac{x}{3}\right) + 2\cot\left(\frac{x}{3}\right) = 5;
\]
\[
2\tan^2\left(\frac{x}{3}\right) — 5\tan\left(\frac{x}{3}\right) + 2 = 0;
\]
\[
D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9
\]
\[
\tan\left(\frac{x}{3}\right)_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, \quad \tan\left(\frac{x}{3}\right)_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2;
\]
\[
x_1 = 3\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + 3\pi n, \quad x_2 = 3\arctan(2) + 3\pi n;
\]
\text{решить уравнение:}
1.
\[
6(\cos(x))^2 + 5\sin(x) — 7 = 0; \quad 6 — 6(\sin(x))^2 + 5\sin(x) — 7 = 0; \quad 6(\sin(x))^2 — 5\sin(x) + 1 = 0;
\]
преобразуем уравнение, используя тождество \(\cos^2(x) = 1 — \sin^2(x)\).
дискриминант:
\[
d = 5^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1
\]
корни квадратного уравнения:
\[
\sin(x_1) = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{1}{2}, \quad \sin(x_2) = \frac{5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{1}{3};
\]
решения:
\[
x_1 = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad x_2 = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n;
\]
2.
\[
(\sin(3x))^2 + 3\cos(3x) = 3;
\]
используем тождество \((\sin(3x))^2 = 1 — (\cos(3x))^2\):
\[
1 — (\cos(3x))^2 + 3\cos(3x) = 3
\]
преобразуем:
\[
(\cos(3x))^2 — 3\cos(3x) + 2 = 0;
\]
дискриминант:
\[
d = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1
\]
корни квадратного уравнения:
\[
\cos(3x_1) = \frac{3 + 1}{2} = 2, \quad \cos(3x_2) = \frac{3 — 1}{2} = 1;
\]
решения:
\[
3x_1 \in \{0, \pm 2\pi n\}, \quad x_1 \in \{0, \pm \frac{2\pi n}{3}\};
\]
3.
\[
\cos(2x) — 3\sin(x) = 2; \quad 1 — 2(\sin(x))^2 — 3\sin(x) = 2;
\]
преобразуем уравнение:
\[
2(\sin(x))^2 + 3\sin(x) + 1 = 0;
\]
дискриминант:
\[
d = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1
\]
корни квадратного уравнения:
\[
\sin(x_1) = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = -1, \quad \sin(x_2) = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2};
\]
решения:
\[
x_1 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x_2 = (-1)^n\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n;
\]
4.
\[
2\tan\left(\frac{x}{3}\right) + 2\cot\left(\frac{x}{3}\right) = 5;
\]
используем тождество:
\[
\tan(y) + \cot(y) = \frac{\tan^2(y) + 1}{\tan(y)}
\]
пусть \(t = \tan\left(\frac{x}{3}\right)\), тогда уравнение принимает вид:
\[
2t^2 — 5t + 2 = 0;
\]
дискриминант:
\[
d = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9
\]
корни квадратного уравнения:
\[
t_1 = \frac{5 — 3}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2;
\]
решения для угла:
для \(t_1 = \frac{1}{2}\):
\[
x_1 = 3\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + 3\pi n;
\]
для \(t_2 = 2\):
\[
x_2 = 3\arctan(2) + 3\pi n;
\]
Повторение курса алгебры
