Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 362 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
\(
\begin{aligned}
1) & \quad \cos(4x) + \cos(6x) = 0; \\
2) & \quad \sin(8x) = 2 \cos\left(\frac{3\pi}{2} — 4x\right); \\
3) & \quad \cos(x) + \cos(7x) = \cos(3x) + \cos(5x); \\
4) & \quad \sin(3x) — 2\sin(x) = 0.
\end{aligned}
\)
Решить уравнение:
1) \(\cos(4x) + \cos(6x) = 0\); \(2 \cdot \cos(5x) \cdot \cos(x) = 0\);
\(\cos(x_1) = 0\), \(\cos(5x_2) = 0\); \(\pi\)
\(
x_1 = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad x_2 = \frac{\pi}{10} + n\pi
\)
2) \(\sin(8x) = 2 \cos\left(\frac{3\pi}{2} — 4x\right)\);
\(
2 \sin(4x) \cos(4x) = -2 \sin(4x);
\)
\(
\sin(4x) (\cos(4x) + 1) = 0;
\)
\(\sin(4x_1) = 0\), \(\cos(4x_2) = -1\);
\(
\sin(4x) = 0, \quad 4x = n\pi, \quad x = \frac{n\pi}{4};
\)
3) \(\cos(x) + \cos(7x) = \cos(3x) + \cos(5x)\);
\(2 \cos(4x) \cdot \cos(3x) = 2 \cos(4x) \cdot \cos(x)\);
\(2 \cos(4x) \cdot (\cos(3x) — \cos(x)) = 0\);
\(\cos(4x) \cdot (-2) \cdot \sin(2x) \cdot \sin(x) = 0\);
\(\sin(x_1) = 0\); \(\sin(2x_2) = 0\); \(\cos(4x_3) = 0\);
\(x_1 = n\pi, \, 2x_2 = n\pi, \, 4x_3 = \frac{\pi}{2} + n\pi\);
\(x_1 = 0, x_2 = \frac{\pi}{4} + n\pi\);
4) \(\sin(3x) — 2\sin(x) = 0\);
\(2\sin(x) \cdot \cos(2x) — \sin(x) = 0\);
\(\sin(x) \cdot (2\cos(2x) — 1) = 0\);
\(\cos(2x_1) = \frac{1}{2}, \, \sin(x_2) = 0\);
Решение: \(2x_1 = \frac{\pi}{3} + 2n\pi, x_2 = n\pi;\)
\(x_1 = \frac{\pi}{6} + n\pi, x_2 = n\pi.\)
1) \(\cos(4x) + \cos(6x) = 0\)
Используем формулу суммы косинусов:
\[
\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
\]
Подставляем \(A = 4x\) и \(B = 6x\):
\[
\cos(4x) + \cos(6x) = 2 \cos(5x) \cos(x) = 0
\]
Решаем два уравнения:
1. \(\cos(5x) = 0\)
\[
5x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{\pi}{10} + \frac{n\pi}{5}
\]
2. \(\cos(x) = 0\)
\[
x = \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}
\]
2) \(\sin(8x) = 2 \cos\left(\frac{3\pi}{2} — 4x\right)\)
Используем идентичность \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} — \theta\right) = \sin(\theta)\):
\[
\sin(8x) = 2 \sin(4x)
\]
Переписываем уравнение:
\[
\sin(8x) — 2 \sin(4x) = 0
\]
Используем формулу разности синусов:
\[
2 \sin\left(\frac{8x + 4x}{2}\right) \cos\left(\frac{8x — 4x}{2}\right) = 0
\]
\[
2 \sin(6x) \cos(2x) = 0
\]
Решаем два уравнения:
1. \(\sin(6x) = 0\)
\[
6x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{n\pi}{6}
\]
2. \(\cos(2x) = 0\)
\[
2x = \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2}
\]
3) \(\cos(x) + \cos(7x) = \cos(3x) + \cos(5x)\)
Используем формулу суммы косинусов:
\[
\cos(x) + \cos(7x) = 2 \cos(4x) \cos(3x)
\]
\[
\cos(3x) + \cos(5x) = 2 \cos(4x) \cos(x)
\]
Таким образом, уравнение становится:
\[
2 \cos(4x) \cos(3x) = 2 \cos(4x) \cos(x)
\]
При \(\cos(4x) \neq 0\), сокращаем на \(2 \cos(4x)\):
\[
\cos(3x) = \cos(x)
\]
Решаем уравнение:
\[
3x = 2k\pi \pm x, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
1. \(2x = 2k\pi\)
\[
x = k\pi
\]
2. \(4x = 2k\pi\)
\[
x = \frac{k\pi}{2}
\]
4) \(\sin(3x) — 2\sin(x) = 0\)
Используем формулу разницы синусов:
\[
\sin(3x) — 2\sin(x) = 2 \sin\left(\frac{3x + x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x — x}{2}\right) = 0
\]
\[
2 \sin(2x) \cos(x) = 0
\]
Решаем два уравнения:
1. \(\sin(2x) = 0\)
\[
2x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{n\pi}{6}
\]
2. \(\cos(x) = 0\)
\[
x = \frac{\pi}{6} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}
\]
Таким образом, мы нашли решения для всех уравнений.
Повторение курса алгебры
