ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 363 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
\cos^2(x) + \sin^2(3x) = 1
\)

2)
\(
\sin^2(x) + \sin^2(2x) — \cos^2(3x) = 0.5
\)

1) Уравнение:
\(
\cos^2(x) + \sin^2(3x) = 1
\)

Решение:

\(
1 + \cos(2x) — 1 — \cos(6x) = 1
\)

\(
1 + \cos(2x) — 1 + \cos(6x) = 2
\)

\(
2 \cdot \sin(4x) \cdot \sin(2x) = 0
\)

Следовательно:
\(
\sin(2x_1) = 0, \, \sin(4x_2) = 0
\)

\(
2x_1 = \pi n, \, 4x_2 = \pi n, \, x = \frac{\pi n}{4}
\)

2) Уравнение:
\(
\sin^2(x) + \sin^2(2x) — \cos^2(3x) = 0.5
\)

Решение:

\(
1 — \cos(2x) + 1 + \cos(6x) = 1 + \sin^2(2x)
\)

\(
— \cos(6x) — \cos(2x) + (1 — \cos(4x)) = 1
\)

\(
2 \cdot \cos(4x) \cdot \cos(2x) + \cos(4x) = 0
\)

Следовательно:
\(
\cos(4x) \cdot (2 \cos(2x) + 1) = 0
\)

Рассмотрим два случая:
1. \(\cos(4x_2) = 0\)
2. \(\cos(2x_1) = -\frac{1}{2}\)

Для первого случая:
\(
4x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, x_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}
\)

Для второго случая:
\(
2x_1 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \, x_1 = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n
\)

Итоговые решения:

1. \(x = \frac{\pi n}{4}\)
2. \(x_1 = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \, x_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}\)

1) Уравнение:
\(\cos^2(x) + \sin^2(3x) = 1\)

Решение:

Используем тригонометрические тождества. Раскроем \(\sin^2(3x)\) через основное тригонометрическое тождество:
\(\sin^2(3x) = 1 — \cos^2(3x)\).

Подставляем в уравнение:
\(\cos^2(x) + 1 — \cos^2(3x) = 1\).

Упростим:
\(\cos^2(x) — \cos^2(3x) = 0\).

Разложим разность квадратов:
\((\cos(x) — \cos(3x)) \cdot (\cos(x) + \cos(3x)) = 0\).

Это возможно, если выполняется одно из условий:
1. \(\cos(x) — \cos(3x) = 0\), то есть \(\cos(x) = \cos(3x)\).
2. \(\cos(x) + \cos(3x) = 0\), то есть \(\cos(x) = -\cos(3x)\).

Рассмотрим первое условие:
\(\cos(x) = \cos(3x)\).
Решение:
\(x = 3x + 2\pi n\) или \(x = -3x + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).
Из первого уравнения: \(x = \frac{2\pi n}{2} = \pi n\).
Из второго уравнения: \(4x = 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{4}\).

Рассмотрим второе условие:
\(\cos(x) = -\cos(3x)\).
Решение аналогично приводит к \(x = \frac{\pi n}{4}\).

Итоговое решение для первого уравнения:
\(x = \frac{\pi n}{4}, \, n \in \mathbb{Z}\).

—

2) Уравнение:
\(\sin^2(x) + \sin^2(2x) — \cos^2(3x) = 0.5\).

Решение:

Используем тригонометрические тождества:
\(\sin^2(x) = \frac{1 — \cos(2x)}{2}\),
\(\sin^2(2x) = \frac{1 — \cos(4x)}{2}\),
\(\cos^2(3x) = \frac{1 + \cos(6x)}{2}\).

Подставляем в уравнение:
\(\frac{1 — \cos(2x)}{2} + \frac{1 — \cos(4x)}{2} — \frac{1 + \cos(6x)}{2} = 0.5\).

Сложим дроби:
\(\frac{1 — \cos(2x) + 1 — \cos(4x) — 1 — \cos(6x)}{2} = 0.5\).

Упростим числитель:
\(1 — \cos(2x) + 1 — \cos(4x) — 1 — \cos(6x) = 1 — \cos(2x) — \cos(4x) — \cos(6x)\).

Получаем:
\(\frac{1 — \cos(2x) — \cos(4x) — \cos(6x)}{2} = 0.5\).

Умножим обе части на \(2\):
\(1 — \cos(2x) — \cos(4x) — \cos(6x) = 1\).

Упростим:
\(-\cos(2x) — \cos(4x) — \cos(6x) = 0\).

Вынесем общий множитель:
\(-\cos(4x)(\cos(2x) + 1) = 0\).

Следовательно, либо:
1. \(\cos(4x) = 0\), либо
2. \(2\cos(2x) + 1 = 0\).

Рассмотрим первый случай:
Если \(\cos(4x) = 0\), то:
\(4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Рассмотрим второй случай:
Если \(2\cos(2x) + 1 = 0\), то:
\(\cos(2x) = -\frac{1}{2}\).
Решение:
\(2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\).

Итоговое решение для второго уравнения:
\(x_1 = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, x_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}\).