ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 364 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad \cos(x) — \sqrt{3} \sin(x) = 1; \\
2) & \quad \cos(x) + \sin(x) = \sqrt{2} \sin(2x).
\end{align*}
\)

1) \( \cos x — \sqrt{3} \sin x = 1 \);
\(
\frac{1}{2} \cdot \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin x = \frac{1}{2};
\)
\(
\cos \frac{\pi}{3} \cos x — \sin \frac{\pi}{3} \sin x = \frac{1}{2};
\)
\(
\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}, \quad x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3};
\)
\(
x_1 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad x_2 = 2\pi n;
\)

2) \( \cos x + \sin x = \sqrt{2} \sin 2x \);
\(
\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x = \sin 2x;
\)
\(
\sin \frac{\pi}{4} \cos x + \cos \frac{\pi}{4} \sin x = \sin 2x;
\)
\(
\sin(x + \frac{\pi}{4}) — \sin 2x = 0;
\)
\(
2 \cdot \sin(\frac{\pi}{8} — \frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{\pi}{8} + \frac{3x}{2}) = 0;
\)
\(
\sin(\frac{\pi}{8} — \frac{x}{2}) = 0, \quad \cos(\frac{\pi}{8} + \frac{3x}{2}) = 0;
\)

\(
x_1 = \frac{\pi}{8} + 2\pi n, \quad \frac{\pi}{8} + \frac{3x_2}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)
\(
x_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi n}{3}, \quad x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;
\)

\(
\frac{\pi}{8} + 3x_2 = \frac{3\pi}{8} + \pi n;
\)
\(
x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi n}{3};
\)

1) Для уравнения \(\cos x — \sqrt{3} \sin x = 1\):

\(
\begin{align*}
\cos x — \sqrt{3} \sin x & = 1; \\
\cos x — \sqrt{3} \sin x — 1 & = 0.
\end{align*}
\)

Перепишем уравнение:

\(
\begin{align*}
\frac{1}{2} \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x & = \frac{1}{2}.
\end{align*}
\)

Теперь выразим это в виде косинуса суммы:

\(
\begin{align*}
\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) & = \frac{1}{2}.
\end{align*}
\)

Решим это уравнение:

\(
\begin{align*}
x + \frac{\pi}{3} & = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \\
x & = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \\
x & = 2\pi n.
\end{align*}
\)

Таким образом, решения для первого уравнения:

\(
x_1 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad x_2 = 2\pi n.
\)

2) Для уравнения \(\cos x + \sin x = \sqrt{2} \sin 2x\):

\(
\begin{align*}
\cos x + \sin x & = \sqrt{2} \sin 2x.
\end{align*}
\)

Запишем правую часть:

\(
\begin{align*}
\sqrt{2} \sin 2x & = \sqrt{2} \cdot 2 \sin x \cos x = 2 \sin x \cos x.
\end{align*}
\)

Теперь преобразуем уравнение:

\(
\begin{align*}
\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x & = 2 \sin x \cos x.
\end{align*}
\)

Перепишем его в виде:

\(
\begin{align*}
\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) & = 2 \sin x \cos x.
\end{align*}
\)

Используя формулу для синуса двойного угла, получаем:

\(
\begin{align*}
\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) — \sin(2x) & = 0.
\end{align*}
\)

Теперь применим формулу разности синусов:

\(
\begin{align*}
2 \sin\left(\frac{\pi}{8} — \frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{3x}{2}\right) & = 0.
\end{align*}
\)

Теперь решим каждое из уравнений:

1. \( \sin\left(\frac{\pi}{8} — \frac{x_1}{2}\right) = 0 \):

\(
x_1 = \frac{\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
\)

2. \( \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{3x_2}{2}\right) = 0 \):

\(
x_2 = \frac{3}{8}\pi + k\frac{\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.
\)

Таким образом, решения для второго уравнения:

1. \( x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}.\)
2. \( x_2 = \frac{3}{4}\pi + 8n, n \in \mathbb{Z}. \)