Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 364 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
\(
\begin{align*}
1) & \quad \cos(x) — \sqrt{3} \sin(x) = 1; \\
2) & \quad \cos(x) + \sin(x) = \sqrt{2} \sin(2x).
\end{align*}
\)
1) Для уравнения \(\cos x — \sqrt{3} \sin x = 1\):
\(
\begin{align*}
\cos x — \sqrt{3} \sin x & = 1; \\
\frac{1}{2} \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x & = \frac{1}{2}; \\
\frac{1}{3} \cos x — \frac{1}{3} \sin x & = \frac{1}{2}; \\
\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) & = \frac{1}{2}, \\
x + \frac{\pi}{3} & = \pm \frac{\pi}{3}; \\
x_1 & = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \\
x_2 & = 2\pi n.
\end{align*}
\)
2) Для уравнения \(\cos x + \sin x = \sqrt{2} \sin 2x\):
\(
\begin{align*}
\cos x + \sin x & = \sqrt{2} \sin 2x; \\
\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x & = \sin 2x; \\
\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) — \cos x + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin x & = \sin 2x; \\
\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) — \sin 2x & = 0; \\
2 \sin\left(\frac{\pi}{8} — \frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{3x}{2}\right) & = 0; \\
\sin\left(\frac{\pi}{8} — \frac{x_1}{2}\right) & = 0, \\
\cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{3x_2}{2}\right) & = 0; \\
x_1 & = \frac{\pi}{2} — 8\pi n, \\
x_2 & = \frac{3\pi}{2} + 8\pi n; \\
x_1 & = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \\
x & = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}.
\end{align*}
\)
1) Для уравнения \(\cos x — \sqrt{3} \sin x = 1\):
\(
\begin{align*}
\cos x — \sqrt{3} \sin x & = 1; \\
\cos x — \sqrt{3} \sin x — 1 & = 0.
\end{align*}
\)
Перепишем уравнение:
\(
\begin{align*}
\frac{1}{2} \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x & = \frac{1}{2}.
\end{align*}
\)
Теперь выразим это в виде косинуса суммы:
\(
\begin{align*}
\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) & = \frac{1}{2}.
\end{align*}
\)
Решим это уравнение:
\(
\begin{align*}
x + \frac{\pi}{3} & = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \\
x & = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \\
x & = 2\pi n.
\end{align*}
\)
Таким образом, решения для первого уравнения:
\(
x_1 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad x_2 = 2\pi n.
\)
2) Для уравнения \(\cos x + \sin x = \sqrt{2} \sin 2x\):
\(
\begin{align*}
\cos x + \sin x & = \sqrt{2} \sin 2x.
\end{align*}
\)
Запишем правую часть:
\(
\begin{align*}
\sqrt{2} \sin 2x & = \sqrt{2} \cdot 2 \sin x \cos x = 2 \sin x \cos x.
\end{align*}
\)
Теперь преобразуем уравнение:
\(
\begin{align*}
\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x & = 2 \sin x \cos x.
\end{align*}
\)
Перепишем его в виде:
\(
\begin{align*}
\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) & = 2 \sin x \cos x.
\end{align*}
\)
Используя формулу для синуса двойного угла, получаем:
\(
\begin{align*}
\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) — \sin(2x) & = 0.
\end{align*}
\)
Теперь применим формулу разности синусов:
\(
\begin{align*}
2 \sin\left(\frac{\pi}{8} — \frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{3x}{2}\right) & = 0.
\end{align*}
\)
Теперь решим каждое из уравнений:
1. \( \sin\left(\frac{\pi}{8} — \frac{x_1}{2}\right) = 0 \):
\(
x_1 = \frac{\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
\)
2. \( \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{3x_2}{2}\right) = 0 \):
\(
x_2 = \frac{3}{8}\pi + k\frac{\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.
\)
Таким образом, решения для второго уравнения:
1. \( x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}.\)
2. \( x_2 = \frac{3}{4}\pi + 8n, n \in \mathbb{Z}. \)
Повторение курса алгебры
