ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 365 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\sin(60^\circ + x) \cos(x — 30^\circ) = 1\)

2) \(\cos(6x) \cos(x) = \cos(5x)\)

3) \(\sin(6x) \cos(4x) = \sin(10x) \cos(8x)\)

4) \(4(\sin(2x))^2 = 3 — 2\sin(6x) \sin(2x)\)

1) Решить уравнение:
\(
\sin(60^\circ + x) \cos(x — 30^\circ) = 1
\)
\(
\frac{1}{2} \left( \sin(30^\circ + 2x) + \sin(90^\circ) \right) = 1
\)
\(
\sin(2x + 30^\circ) + 1 = 2
\)
\(
\sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = 1
\)
\(
2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n
\)
\(
2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n
\)
\(
x = \frac{\pi}{6} + \pi n
\)

2) Решить уравнение:
\(
\cos(6x) \cdot \cos(x) = \cos(5x)
\)
\(
\frac{1}{2} \left( \cos(7x) + \cos(5x) \right) = \cos(5x)
\)
\(
\frac{1}{2} \left( \cos(7x) — \cos(5x) \right) = 0
\)
\(
\frac{1}{2} (-2 \sin(6x) \cdot \sin(x)) = 0
\)

Таким образом, получаем:
\(
\sin(x) \cdot \sin(6x) = 0
\)
\(
\sin(x_1) = 0, \quad \sin(6x_2) = 0
\)
\(
x_1 = \pi n, \quad 6x = \pi n, \quad x = \frac{\pi}{6} + \pi n
\)

3) Решить уравнение:
\(
\sin(6x) \cos(4x) = \sin(10x) \cos(8x
\)
\(
\frac{1}{2} \left( \sin(10x) + \sin(2x) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin(18x) + \sin(2x) \right)
\)
\(
\frac{1}{2} \left( \sin(18x) — \sin(10x) \right) = 0, \quad \sin(4x) \cos(14x) = 0
\)

Таким образом, получаем:
\(
\cos(14x_1) = 0, \quad 14x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x_1 = \frac{\pi}{28} + \frac{\pi n}{14}
\)
\(
\sin(4x_2) = 0, \quad 4 \cdot x_2 = \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{4}
\)

4) Решить уравнение:
\(
4 \sin^2(2x) = 3 — 2 \sin(6x) \sin(2x)
\)
\(
2 — 2 \cos(4x) = 3 — (\cos(4x) — \cos(8x))
\)
\(
1 + \cos(4x) + \cos(8x) = 0
\)
\(
2 \cos^2(4x) — 1 + \cos(4x) + 1 = 0
\)
\(
\cos(4x) \cdot (2 \cos(4x) + 1) = 0
\)

Таким образом, получаем:
\(
\cos(4 \cdot x_1) = -\frac{1}{2}, \quad \cos(4 \cdot x_2) = 0
\)
\(
4x_1 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad 4x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n
\)
\(
x_1 = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad x_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}
\)

1) Решить уравнение:

\[
\sin(60^\circ + x) \cos(x — 30^\circ) = 1
\]

Поскольку максимальное значение произведения \(\sin\) и \(\cos\) равно 1, то:

\[
\sin(60^\circ + x) = 1 \quad \text{и} \quad \cos(x — 30^\circ) = 1
\]

Это приводит к:

\[
60^\circ + x = 90^\circ + 360^\circ n \Rightarrow x = 30^\circ + 360^\circ n
\]

\[
x — 30^\circ = 0^\circ + 360^\circ m \Rightarrow x = 30^\circ + 360^\circ m
\]

Таким образом, общее решение:

\[
x = 30^\circ + 360^\circ k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

2) Решить уравнение:

\[
\cos(6x) \cdot \cos(x) = \cos(5x)
\]

Используя формулу произведения косинусов, получаем:

\[
\frac{1}{2} \left( \cos(7x) + \cos(5x) \right) = \cos(5x)
\]

Это приводит к:

\[
\frac{1}{2} \left( \cos(7x) — \cos(5x) \right) = 0
\]

Следовательно:

\[
\cos(7x) = \cos(5x)
\]

Это дает два случая:

1. \(7x = 5x + 360^\circ n \Rightarrow 2x = 360^\circ n \Rightarrow x = 180^\circ n\)

2. \(7x = -5x + 360^\circ n \Rightarrow 12x = 360^\circ n \Rightarrow x = 30^\circ n\)

Таким образом, общее решение:

\[
x = 30^\circ n, \quad n \in \mathbb{Z}
\]

3) Решить уравнение:

\[
\sin(6x) \cos(4x) = \sin(10x) \cos(8x)
\]

Используя формулу произведения синусов, получаем:

\[
\frac{1}{2} \left( \sin(10x) + \sin(2x) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin(18x) + \sin(2x) \right)
\]

Это приводит к:

\[
\frac{1}{2} \left( \sin(18x) — \sin(10x) \right) = 0
\]

Таким образом, получаем:

\[
\sin(4x) \cos(14x) = 0
\]

Теперь рассматриваем два случая:

1. \( \cos(14x_1) = 0 \)

Это приводит к:

\[
14x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x_1 = \frac{\pi}{28} + \frac{\pi n}{14}
\]

2. \( \sin(4x_2) = 0 \)

Это приводит к:

\[
4 \cdot x_2 = \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{4}
\]

Таким образом, общее решение для третьего уравнения:

\[
x_1 = \frac{\pi}{28} + \frac{\pi n}{14}, \quad x_2 = \frac{\pi}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}
\]

4) Решить уравнение:

\[
4 \sin^2(2x) = 3 — 2 \sin(6x) \sin(2x)
\]

Преобразуем уравнение:

\[
2 — 2 \cos(4x) = 3 — (\cos(4x) — \cos(8x))
\]

Это упрощается до:

\[
1 + \cos(4x) + \cos(8x) = 0
\]

Теперь подставим \(y = \cos(4x)\):

\[
2 y^2 — 1 + y + 1 = 0
\]

Это приводит к квадратному уравнению:

\[
2 y^2 + y — 1 = 0
\]

Решаем его с помощью дискриминанта:

\[
D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9
\]

Корни будут:

\[
y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{4}
\]

Таким образом, получаем два корня:

1. \(y_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

2. \(y_2 = \frac{-4}{4} = -1\)

Теперь возвращаемся к \(y = \cos(4x)\):

Для первого случая:

\[
\cos(4 x_1) = -\frac{1}{2}
\]

Это дает:

\[
4 x_1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x_1 = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}
\]

Для второго случая:

\[
\cos(4 x_2) = 0
\]

Это дает:

\[
4 x_2 = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}
\]

Отсюда:

\[
x_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}
\]

Таким образом, общее решение для четвертого уравнения:

\[
x_1 = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}
\]

и

\[
x_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}, k \in \mathbb{Z}
\]