Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 366 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \(\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = 0\)
2) \(\frac{\sin(x) + \sin(3x)}{\cos(x) — \cos(3x)} = 0\)
3) \(\frac{\sin(2x)}{1 — \sin(x)} = 2\cos(x)\)
4) \(\frac{1 + \cos(x) — \sin(x)}{\cos(x)} = 0\)
1) \(\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = 0\)
\(\sin(2x) = 0, \quad 1 + \cos(2x) \neq 0\)
\(2x = \pi n, \quad \cos(2x) \neq -1\)
\(x = \frac{\pi n}{2}, \quad 2x \neq \pi + 2\pi n\)
\(x = \frac{\pi n}{2}, \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n\)
Ответ: \(x = \frac{\pi n}{2}\)
2) \(\frac{\sin(x) + \sin(3x)}{\cos(x) — \cos(3x)} = 0\)
\(2 \sin(2x) \cos(x) — 2 \sin(2x) \sin(x) = 0\)
\(\cos(x) = 0, \quad \sin(2x) \neq 0, \quad \sin(x) = 0\)
\(x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad 2x \neq \pi n, \quad x \neq \pi n\)
\(x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x \neq \frac{\pi n}{2}, \quad x \neq \pi n\)
Ответ: нет корней
3) \(\frac{\sin(2x)}{1 — \sin(x)} = 2 \cos(x)\)
\(\sin(2x) = 2 \cos(x) (1 — \sin(x))\)
\(\sin(2x) = 2 \cos(x) — \sin(2x)\)
\(2 \sin(2x) — 2 \cos(x) = 0\)
\(4 \sin(x) \cos(x) — 2 \cos(x) = 0\)
\(2 \cos(x) (1 — 2 \sin(x)) = 0\)
\(\sin(x) = \frac{1}{2}, \quad \cos(x) = 0, \quad \sin(x) \neq 1\)
\(x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n\)
Ответ: \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad x = \frac{\pi}{6} + \pi n\)
4) \(\frac{1 + \cos(x) — \sin(x)}{\cos(x)} = 0\)
\(\sin(x) — \cos(x) = 1, \quad \cos(x) \neq 0\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin(x) — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(x) = \sqrt{2}\)
\(\sin\left(\frac{\pi}{4} — x\right) — \cos\left(\frac{\pi}{4} — x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n\)
\(x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = -\pi + 2\pi n\)
\(x + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\)
Ответ: \(x = \pi + 2\pi n\)
1) Рассмотрим уравнение
\[
\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = 0.
\]
Чтобы это уравнение было равно нулю, необходимо, чтобы числитель равнялся нулю, при условии, что знаменатель не равен нулю. Таким образом, мы получаем:
\[
\sin(2x) = 0, \quad 1 + \cos(2x) \neq 0.
\]
Решая уравнение \(\sin(2x) = 0\), получаем:
\[
2x = \pi n,
\]
где \(n\) — целое число. Следовательно,
\[
x = \frac{\pi n}{2}.
\]
Теперь проверим условие \(1 + \cos(2x) \neq 0\). Это означает, что \(\cos(2x) \neq -1\), что происходит, когда
\[
2x \neq \pi + 2\pi m,
\]
где \(m\) — целое число. Это приводит к условию:
\[
x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m.
\]
Таким образом, окончательный ответ:
\[
x = \frac{\pi n}{2}.
\]
2) Теперь рассмотрим уравнение
\[
\frac{\sin(x) + \sin(3x)}{\cos(x) — \cos(3x)} = 0.
\]
Для этого уравнения необходимо, чтобы числитель равнялся нулю:
\[
\sin(x) + \sin(3x) = 0.
\]
Используя формулу суммы синусов, мы можем записать:
\[
2 \sin(2x) \cos(x) = 0.
\]
Это уравнение равно нулю, если \(2 \sin(2x) = 0\) или \(\cos(x) = 0\). Анализируем оба случая:
1. Если \(2 \sin(2x) = 0\), то
\[
\sin(2x) = 0 \Rightarrow 2x = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi k}{2},
\]
где \(k\) — целое число.
2. Если \(\cos(x) = 0\), то
\[
x = \frac{\pi}{2} + m\pi,
\]
где \(m\) — целое число.
Теперь учитываем условие, что \(2x \neq \pi n\), что приводит к:
\[
x \neq \frac{\pi n}{2}.
\]
Таким образом, у нас есть противоречие. Поэтому окончательный ответ:
нет корней.
3) Рассмотрим уравнение
\[
\frac{\sin(2x)}{1 — \sin(x)} = 2 \cos(x).
\]
Переписываем его в виде:
\[
\sin(2x) = 2 \cos(x)(1 — \sin(x)).
\]
Используя формулу для синуса двойного угла, получаем:
\[
2 \sin(x) \cos(x) = 2 \cos(x) — 2 \cos(x) \sin(x).
\]
Соберем все слагаемые в одну сторону:
\[
2 \sin(2x) — 2 \cos(x) = 0.
\]
Это можно записать как:
\[
4 \sin(x) \cos(x) — 2 \cos(x) = 0.
\]
Факторизуем:
\[
2 \cos(x)(1 — 2 \sin(x)) = 0.
\]
Теперь у нас есть два случая:
1. \(2 \cos(x) = 0\), что дает
\[
x = \frac{\pi}{2} + k\pi.
\]
2. \(1 — 2 \sin(x) = 0\), что дает
\[
\sin(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2m\pi.
\]
Таким образом, окончательный ответ:
\(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; x = \frac{\pi}{6} + \pi n.\)
4) Рассмотрим уравнение
\[
\frac{1 + \cos(x) — \sin(x)}{\cos(x)} = 0.
\]
Для этого уравнения необходимо, чтобы числитель равнялся нулю:
\[
1 + \cos(x) — \sin(x) = 0.
\]
Переписываем его в виде:
\[
\sin(x) — \cos(x) = 1, \quad \cos(x) \neq 0.
\]
Теперь выразим синус через косинус:
\[
-\sqrt{2}/2 (\sin(x) — \cos(x)) = -1.
\]
Это можно записать как:
\[
-\sqrt{2}/2 (\sin(x) — cos(x)) = -1.
\]
Решая это уравнение, мы можем использовать тригонометрические функции:
Используем преобразование:
\[
\sin(\frac{\pi}{4} — x) — \cos(\frac{\pi}{4} — x)= 1.
\]
Теперь решаем это уравнение:
\[
x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi,
\]
что дает
\[
x = -\pi + 2k\pi,
\]
и
\[
x + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2mπ,
\]
что дает
\[
x = \frac{\pi}{2} + 2mπ.
\]
Окончательный ответ:
\( x = π + 2πn. \)
Повторение курса алгебры
