ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 367 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наименьший положительный корень уравнения

\(
\sin^2(x) — 0.5 \sin(2x) = 1
\)

Дано уравнение:

\(
\sin^2 x — 0.5 \sin 2x = 1
\)

Перепишем его:

\(
-\sin x \cos x = 1 — \sin^2 x
\)

Это можно записать как:

\(
\cos^2 x — \sin x \cos x = 0
\)

Факторизуем:

\(
\cos x (\sin x + \cos x) = 0
\)

Теперь решим каждое из уравнений.

1) Первое уравнение:

\(
\cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n
\)

2) Второе уравнение:

\(
\sin x + \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\sin x}{\cos x} = -1 \quad \Rightarrow \quad 1 +
\)
\(
+ \tan x = 0 \quad \Rightarrow \quad \tan x = -1
\)

Следовательно:

\(
x = \arctan(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n
\)

Ответ:

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n
\)
\(
x = \frac{3\pi}{4} + \pi n
\)

Дано уравнение:

\(
\sin^2 x — 0.5 \sin 2x = 1
\)

Для начала перепишем его, используя тригонометрическую идентичность \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\):

\(
\sin^2 x — 0.5 (2 \sin x \cos x) = 1
\)

Это упрощается до:

\(
\sin^2 x — \sin x \cos x = 1
\)

Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:

\(
\sin^2 x — \sin x \cos x — 1 = 0
\)

Следующий шаг — использовать тригонометрическую идентичность \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Мы можем выразить \(\sin^2 x\) через \(\cos^2 x\):

\(
-\sin x \cos x = 1 — \sin^2 x
\)

Теперь подставим \(\sin^2 x = 1 — \cos^2 x\):

\(
-\sin x \cos x = 1 — (1 — \cos^2 x)
\)

Это упростится до:

\(
-\sin x \cos x = \cos^2 x
\)

Перепишем уравнение:

\(
\cos^2 x + \sin x \cos x = 0
\)

Факторизуем это уравнение:

\(
\cos x (\sin x + \cos x) = 0
\)

Теперь решим каждое из уравнений.

1) Первое уравнение:

\(
\cos x = 0
\)

Решение этого уравнения:

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

2) Второе уравнение:

\(
\sin x + \cos x = 0
\)

Мы можем выразить его так:

\(
\frac{\sin x}{\cos x} = -1
\)

Это приводит к:

\(
1 + \tan x = 0
\)

Следовательно:

\(
\tan x = -1
\)

Решение этого уравнения:

\(
x = \arctan(-1) + \pi n
\)

Значение \(\arctan(-1)\) равно \(\frac{3\pi}{4}\), поэтому:

\(
x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Теперь мы можем записать окончательный ответ для корней уравнения:

1)

\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

2)

\(
x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)