Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 367 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите наименьший положительный корень уравнения
\(
\sin^2(x) — 0.5 \sin(2x) = 1
\)
Дано уравнение:
\(
\sin^2 x — 0.5 \sin 2x = 1
\)
Перепишем его:
\(
-\sin x \cos x = 1 — \sin^2 x
\)
Это можно записать как:
\(
\cos^2 x — \sin x \cos x = 0
\)
Факторизуем:
\(
\cos x (\sin x + \cos x) = 0
\)
Теперь решим каждое из уравнений.
1) Первое уравнение:
\(
\cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n
\)
2) Второе уравнение:
\(
\sin x + \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\sin x}{\cos x} = -1 \quad \Rightarrow \quad 1 + \tan x = 0 \quad \Rightarrow \quad \tan x = -1
\)
Следовательно:
\(
x = \arctan(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n
\)
Ответ:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n
\)
\(
x = \frac{3\pi}{4} + \pi n
\)
Дано уравнение:
\(
\sin^2 x — 0.5 \sin 2x = 1
\)
Для начала перепишем его, используя тригонометрическую идентичность \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\):
\(
\sin^2 x — 0.5 (2 \sin x \cos x) = 1
\)
Это упрощается до:
\(
\sin^2 x — \sin x \cos x = 1
\)
Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\(
\sin^2 x — \sin x \cos x — 1 = 0
\)
Следующий шаг — использовать тригонометрическую идентичность \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Мы можем выразить \(\sin^2 x\) через \(\cos^2 x\):
\(
-\sin x \cos x = 1 — \sin^2 x
\)
Теперь подставим \(\sin^2 x = 1 — \cos^2 x\):
\(
-\sin x \cos x = 1 — (1 — \cos^2 x)
\)
Это упростится до:
\(
-\sin x \cos x = \cos^2 x
\)
Перепишем уравнение:
\(
\cos^2 x + \sin x \cos x = 0
\)
Факторизуем это уравнение:
\(
\cos x (\sin x + \cos x) = 0
\)
Теперь решим каждое из уравнений.
1) Первое уравнение:
\(
\cos x = 0
\)
Решение этого уравнения:
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)
2) Второе уравнение:
\(
\sin x + \cos x = 0
\)
Мы можем выразить его так:
\(
\frac{\sin x}{\cos x} = -1
\)
Это приводит к:
\(
1 + \tan x = 0
\)
Следовательно:
\(
\tan x = -1
\)
Решение этого уравнения:
\(
x = \arctan(-1) + \pi n
\)
Значение \(\arctan(-1)\) равно \(\frac{3\pi}{4}\), поэтому:
\(
x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)
Теперь мы можем записать окончательный ответ для корней уравнения:
1)
\(
x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)
2)
\(
x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)
Повторение курса алгебры
