ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 368 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения (sin(x))^3 cos(x)=0,25-(cos(x))^3 sin(x).

\(
(\sin(x))^3 \cos(x) = 0.25 — (\cos(x))^3 \sin(x)
\)

Дано уравнение:

\(
\sin^3(x) \cos(x) = 0.25 — \cos^3(x) \sin(x)
\)

Переписываем уравнение:

\(
\sin(x) \cos(x) \cdot (\sin^2(x) + \cos^2(x)) = \frac{1}{4}
\)

Так как \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\), получаем:

\(
\frac{1}{2} \sin(2x) \cdot 1 = \frac{1}{4}
\)

Отсюда:

\(
\sin(2x) = \frac{1}{2}
\)

Все возможные корни:

\(
2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{12} + \pi n
\)

\(
2x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n
\)

Ответ:

\(
x = -\frac{7\pi}{12}
\)

Дано уравнение:

\(
\sin^3(x) \cos(x) = 0.25 — \cos^3(x) \sin(x)
\)

Переписываем уравнение, используя свойства тригонометрических функций:

\(
\sin(x) \cos(x) \cdot (\sin^2(x) + \cos^2(x)) = \frac{1}{4}
\)

Так как по основному тригонометрическому тождеству выполняется равенство:

\(
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1,
\)

мы можем упростить уравнение:

\(
\sin(x) \cos(x) \cdot 1 = \frac{1}{4}
\)

Это можно переписать как:

\(
\sin(x) \cos(x) = \frac{1}{4}
\)

Используя формулу двойного угла, мы знаем, что:

\(
\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x).
\)

Тогда можем выразить \(\sin(2x)\):

\(
\frac{1}{2} \sin(2x) = \frac{1}{4}.
\)

Умножим обе стороны на 2:

\(
\sin(2x) = \frac{1}{2}.
\)

Теперь мы можем найти все возможные корни уравнения. Уравнение \(\sin(2x) = \frac{1}{2}\) имеет следующие решения:

\(
2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n,
\)

где \(n\) — целое число. Делим обе стороны на 2, чтобы найти \(x\):

\(
x = \frac{\pi}{12} + \pi n.
\)

Также у нас есть второе решение:

\(
2x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n.
\)

Делим обе стороны на 2:

\(
x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n.
\)

Теперь рассмотрим конкретные значения \(n\). Для получения наибольшего отрицательного корня, возьмем \(n = -1\):

Для первого решения:

\(
x = \frac{\pi}{12} — \pi = \frac{\pi — 12\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12}.
\)

Для второго решения:

\(
x = -\frac{5\pi}{12} — \pi = -\frac{5\pi + 12\pi}{12} = -\frac{17\pi}{12}.
\)

Сравнивая значения, мы видим, что наибольший отрицательный корень:

\(
x = -\frac{11\pi}{12}.
\)

Однако, если мы рассмотрим еще раз второй корень с \(n = 0\):

\(
x = -\frac{5\pi}{12}.
\)

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения:

\(
x = -\frac{5\pi}{12}.
\)