ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 369 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Сколько корней уравнения } \sin(3x) — \sin(x) + \cos(2x) = 0
\)
\(
\text{ принадлежат промежутку } \left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]?
\)

Дано уравнение:
\(sin 3x — sin x + cos 2x = 0;\)
\(2 sin x \cdot cos 2x + cos 2x = 0;\)
\(cos 2x \cdot (2 sin x + 1) = 0;\)

1) Первое уравнение:
\(cos 2x = 0, 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n;\)
\(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};\)

2) Второе уравнение:
\(2 sin x + 1 = 0, sin x = -\frac{1}{2};\)
\(x = (-1)^{(n+1)} \cdot arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^{(n+1)} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;\)

3) На заданном отрезке:
\(x(-1) = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4};\)
\(x(0) = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{6} + 0 = \frac{\pi}{6};\)
\(x(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4};\)

Дано уравнение:

\(
\sin(3x) — \sin(x) + \cos(2x) = 0
\)

Перепишем его в виде:

\(
2 \sin(x) \cdot \cos(2x) + \cos(2x) = 0
\)

Факторизуем:

\(
\cos(2x) \cdot (2 \sin(x) + 1) = 0
\)

Теперь решим два уравнения.

1) Первое уравнение:

\(
\cos(2x) = 0
\)

Это уравнение имеет решение:

\(
2x = \frac{\pi}{2} + \pi n — x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}
\)

где \(n\) — целое число.

2) Второе уравнение:

\(
2 \sin(x) + 1 = 0
\)

Это уравнение имеет решение:

\(
\sin(x) = -\frac{1}{2}
\)

Решение для этого уравнения:

\(
x = (-1)^{(n+1)} \cdot \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^{(n+1)} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n
\)

где \(n\) — целое число.

Теперь найдем корни на заданном отрезке \([- \frac{\pi}{2}; \pi]\):

Для первого уравнения:

\(
x(-1) = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}
\)

\(
x(0) = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{6} + 0 = \frac{\pi}{6}
\)

\(
x(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}
\)