ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 370 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( \sin(3x) > \frac{\sqrt{2}}{2} \)

2) \( \cos\left(\frac{x}{2}\right) \geq \frac{1}{2} \)

3) \( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \geq \frac{\sqrt{3}}{2} \)

4) \( \cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) \geq -\frac{1}{2} \)

5) \( \tan\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{3}\right) \geq \frac{\sqrt{3}}{3} \)

6) \( \cot\left(\frac{2x}{3} — \frac{\pi}{5}\right) \geq -1 \)

1) \( \sin(3x) > \frac{\sqrt{2}}{2} \):
\(
\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 3x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \\
\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}
\)

2) \( \cos(x) \leq \frac{1}{2} \):
\(
\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n \\
\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \leq x \leq \frac{10\pi}{3} + 4\pi n
\)

3) \( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\(
— \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n \\
— \frac{19\pi}{12} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{12} + 2\pi n
\)

4) \( \cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) \geq -\frac{1}{2} \):
\(
2\pi n — \frac{2}{3} \leq 2x — \frac{\pi}{6} \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \\
\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq 2x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \\
\frac{\pi}{4} + \pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{12} + \pi n
\)

5) \( \tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq \frac{\sqrt{3}}{3} \):
\(
— \frac{\pi}{2} + \pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{6} + \pi n \\
— \frac{5\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n
\)

6) \( \cot\left(\frac{2x}{3} — \frac{\pi}{5}\right) \geq -1 \):
\(
\pi n < \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{5} \leq \frac{3\pi}{4} + \pi n \\
\frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{5} + \pi n \leq x \leq \frac{19\pi}{20} + \pi n \\
\frac{3\pi}{10} + \frac{37\pi n}{2} \leq x \leq \frac{57\pi}{40} + \frac{3\pi n}{2}
\)

1) Для неравенства \( \sin(3x) > \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[
\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 3x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n
\]

Делим всё на 3:

\[
\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}
\]

2) Для неравенства \( \cos(x) \leq \frac{1}{2} \):

\[
\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n
\]

И также:

\[
\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \leq x \leq \frac{10\pi}{3} + 4\pi n
\]

3) Для неравенства \( \sin(x + \frac{\pi}{4}) \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[
— \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n
\]

Вычтем \( \frac{\pi}{4} \):

\[
— \frac{4\pi}{3} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n
\]

Упрощая границы, получаем:

\[
— \frac{19\pi}{12} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{12} + 2\pi n
\]

Вот решения неравенств, оформленные в формате LaTeX:

4) Для неравенства \( \cos(2x — \frac{\pi}{6}) \geq -\frac{1}{2} \):

\[
2\pi n — \frac{2}{3} \leq 2x — \frac{\pi}{6} \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n
\]

Разделим всё на 2:

\[
\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n
\]

Таким образом, получаем:

\[
\frac{\pi}{4} + \pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{12} + \pi n
\]

5) Для неравенства \( \tan(x + \frac{\pi}{4}) \leq \frac{\sqrt{3}}{3} \):

\[
-\frac{\pi}{2} + \pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{6} + \pi n
\]

Вычтем \( \frac{\pi}{4} \):

\[
-\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{4} + \pi n
\]

Упрощая границы, получаем:

\[
-\frac{3\pi}{4} + \pi n < x < -\frac{\pi}{12} + \pi n
\]

И также:

\[
-\frac{5\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n
\]

6) Для неравенства \( \cot\left(\frac{2x}{3} — \frac{\pi}{5}\right) \geq -1 \):

\[
\pi n < \frac{2x}{3} — \frac{\pi}{5} \leq \frac{3\pi}{4} + \pi n
\]

Добавим \( \frac{\pi}{5} \):

\[
\frac{\pi}{5} + \pi n < \frac{2x}{3} < \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{5} + \pi n
\]

Умножим на \( \frac{3}{2} \):

\[
\frac{3\pi}{10} + \frac{3\pi n}{2} < x < \frac{57\pi}{40} + \frac{3\pi n}{2}
\]

Таким образом, получаем:

\[
\frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{5} + \pi n \leq x \leq \frac{19\pi}{20} + \pi n
\]