ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 42 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что:

1)

\(
\frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + \ldots + \frac{1}{24} > \frac{1}{3};
\)

2)

\(
\frac{1}{28} + \frac{1}{29} + \frac{1}{30} + \ldots + \frac{1}{36} > \frac{1}{4}.
\)

Доказать неравенство:

1) \( S = \frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + \dots + \frac{1}{24} \).

\( S > 8 \cdot \frac{1}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \).

8 элементов.

Что и требовалось доказать.

2) \( S = \frac{1}{28} + \frac{1}{29} + \frac{1}{30} + \dots + \frac{1}{36} \).

\( S > 9 \cdot \frac{1}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \).

9 элементов.

Что и требовалось доказать.

Для доказательства данных неравенств воспользуемся оценками суммы дробей.

1) Рассмотрим сумму \( S_1 = \frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + \frac{1}{20} + \frac{1}{21} + \frac{1}{22} + \frac{1}{23} + \frac{1}{24} \).

Для оценки этой суммы можно воспользоваться тем, что каждая дробь можно заменить её верхней границей:

\(
S_1 > 8 \cdot \frac{1}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}.
\)

Таким образом, мы видим, что \( S_1 > \frac{1}{3} \).

2) Теперь рассмотрим сумму \( S_2 = \frac{1}{28} + \frac{1}{29} + \frac{1}{30} + \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \frac{1}{34} + \frac{1}{35} + \frac{1}{36} \).

Аналогично, оценим эту сумму:

\(
S_2 > 9 \cdot \frac{1}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}.
\)

Таким образом, мы получаем, что \( S_2 > \frac{1}{4} \).

Таким образом, оба неравенства доказаны:
1) \( \frac{1}{17} + \frac{1}{18} + … + \frac{1}{24} > \frac{1}{3} \);
2) \( \frac{1}{28} + \frac{1}{29} + … + \frac{1}{36} > \frac{1}{4} \).