ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 486 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Разложите на множители выражение (n — натуральное число):

1) а^(n + 1)+ аn + а + 1;

2) b^(n+2)-b- 1 + 6^(n + 1);

3) 3y^(n + 3) — 3у2 — 5 + 5^(уn +1).

1) \( a^{n+1} + a^n + a + 1 = (a^{n+1} + a) + (a^n + 1) = a(a^n + 1) + (a^n + 1) =\)

\((a^n + 1)(a + 1); \)

2) \( b^{n+2} — b — 1 + b^{n+1} = (b^{n+2} + b^{n+1}) — (b + 1) = b^{n+1}(b + 1) — (b + 1) = \)

\((b + 1)(b^{n+1} — 1); \)

3) \( 3y^{n+3} — 3y^2 — 5 + 5y^{n+1} = (3y^{n+3} + 5y^{n+1}) — (3y^2 + 5) = y^{n+1}(3y^2 + 5) — \)

\((3y^2 + 5) = (3y^2 + 5)(y^{n+1} — 1). \)

1) \( a^{n+1} + a^n + a + 1 =\)

Начнем с группировки выражений. Обратите внимание, что в выражении есть два вида слагаемых:

\( (a^{n+1} + a) \) и \( (a^n + 1) \).

Для удобства их можно сгруппировать:

\( a^{n+1} + a^n + a + 1 = (a^{n+1} + a) + (a^n + 1) \)

Теперь вынесем общий множитель для каждой группы. В первой группе \( a^{n+1} + a \), можно вынести \( a \), а во второй \( a^n + 1 \) уже является простым выражением:

\( = a(a^n + 1) + (a^n + 1) \)

Затем, заметим, что теперь обе части выражения содержат общий множитель \( (a^n + 1) \), который можно вынести:

\( = (a^n + 1)(a + 1) \)

Ответ: \( (a^n + 1)(a + 1) \)

2) \( b^{n+2} — b — 1 + b^{n+1} =\)

Начнем с группировки выражений, которые имеют схожие множители:

\( (b^{n+2} + b^{n+1}) — (b + 1) \)

В первой части \( b^{n+2} + b^{n+1} \) можно вынести общий множитель \( b^{n+1} \), а во второй части \( b + 1 \) является простым выражением:

\( = b^{n+1}(b + 1) — (b + 1) \)

Теперь заметим, что обе части выражения содержат общий множитель \( (b + 1) \), который можно вынести:

\( = (b + 1)(b^{n+1} — 1) \)

Ответ: \( (b + 1)(b^{n+1} — 1) \)

3) \( 3y^{n+3} — 3y^2 — 5 + 5y^{n+1} =\)

Начнем с группировки выражений, которые имеют схожие множители:

\( (3y^{n+3} + 5y^{n+1}) — (3y^2 + 5) \)

В первой части \( 3y^{n+3} + 5y^{n+1} \) можно вынести общий множитель \( y^{n+1} \), а во второй части \( 3y^2 + 5 \) является простым выражением:

\( = y^{n+1}(3y^2 + 5) — (3y^2 + 5) \)

Теперь заметим, что обе части выражения содержат общий множитель \( (3y^2 + 5) \), который можно вынести:

\( = (3y^2 + 5)(y^{n+1} — 1) \)

Ответ: \( (3y^2 + 5)(y^{n+1} — 1) \)