ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 491 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении n, большем 1, значение выражения 3^(n + 2) — 2^(n + 2) + 3n — 2n делится нацело на 10.

\( 3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n = 3^n \cdot (3^2 + 1) — 2^n \cdot (2^2 + 1) = \)

\(=3^n \cdot 10 — 2^n \cdot 5 = 3^n \cdot 10 — 2^{n-1} \cdot 2 \cdot 5 =\)

=\(3^n \cdot 10 — 2^{n-1} \cdot 10 = 10 \cdot (3^n — 2^{n-1}) \) — делится на 10.

\( 3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n =\)

Начнем с того, что разложим выражение на части:

\( 3^{n+2} — 2^{n+2} + 3^n — 2^n = 3^n \cdot (3^2 + 1) — 2^n \cdot (2^2 + 1) \)

Теперь подставим значения \( 3^2 = 9 \) и \( 2^2 = 4 \), чтобы упростить выражение:

\( = 3^n \cdot (9 + 1) — 2^n \cdot (4 + 1) \)

\( = 3^n \cdot 10 — 2^n \cdot 5 \)

Теперь, можно преобразовать \( 2^n \cdot 5 \) в форму с общим множителем \( 2^{n-1} \):

\( = 3^n \cdot 10 — 2^{n-1} \cdot 2 \cdot 5 \)

Преобразуем это в следующую форму:

\( = 3^n \cdot 10 — 2^{n-1} \cdot 10 \)

Теперь, можем вынести общий множитель \( 10 \):

\( = 10 \cdot (3^n — 2^{n-1}) \)

Ответ: \( 10 \cdot (3^n — 2^{n-1}) \)

Таким образом, выражение делится на 10, так как оно содержит множитель 10.