ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 492 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что при некоторых значениях х и у выполняется равенство х2 + у2 = 1. Найдите при этих же значениях х и у значение выражения 2х4 + 3х2у2 + у4 + у2.

Если \( x^2 + y^2 = 1 \);

\( 2x^4 + 3x^2y^2 + y^4 + y^2 = 2x^4 + 2x^2y^2 + x^2y^2 + y^4 + y^2 = \)

\( = 2x^2(x^2 + y^2) + y^2(x^2 + y^2) + y^2 = 2x^2 \cdot 1 + y^2 \cdot 1 + y^2 = \)

\( = 2x^2 + y^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 = 2(x^2 + y^2) = 2 \cdot 1 = 2. \)

Если \( x^2 + y^2 = 1 \);

Начнем с рассмотрения исходного выражения:

\( 2x^4 + 3x^2y^2 + y^4 + y^2 \)

Преобразуем его, сгруппировав слагаемые:

\( = 2x^4 + 2x^2y^2 + x^2y^2 + y^4 + y^2 \)

Теперь мы видим, что можно сгруппировать слагаемые, содержащие общие множители. Разделим на несколько частей:

\( = 2x^2(x^2 + y^2) + y^2(x^2 + y^2) + y^2 \)

Теперь используем данное условие \( x^2 + y^2 = 1 \), чтобы упростить выражение:

\( = 2x^2 \cdot 1 + y^2 \cdot 1 + y^2 \)

Применив условие, мы получаем:

\( = 2x^2 + y^2 + y^2 \)

Теперь объединяем два одинаковых слагаемых \( y^2 \):

\( = 2x^2 + 2y^2 \)

После этого можем вынести общий множитель \( 2 \):

\( = 2(x^2 + y^2) \)

Опять-таки, подставляем условие \( x^2 + y^2 = 1 \):

\( = 2 \cdot 1 = 2 \)

Ответ: \( 2 \)