ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 581 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Преобразуйте в многочлен выражение:

1) 6(1 — 2с) ;

2) -12(х + 1/3*y)2;

3) а(а-6b)2;

4) 5b(b2 + 7b)2;

5) (а + 3)(а — 4)2;

6) (2х + 4) (х-8);

7) (а — 5) (а + 5)2;

8) (3х + 4y)2(3х — 4y)2.

1) \[6(1 — 2c)^2 = 6(1 — 4c + 4c^2) = 6 — 24c + 24c^2\]

2) \[-12 \left(x + \frac{1}{3}y \right)^2 = -12 \left(x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2 \right) = -12x^2 — 8xy — \frac{4}{3}y^2\]

3) \[a(a — 6b)^2 = a(a^2 — 12ab + 36b^2) = a^3 — 12a^2b + 36ab^2\]

4) \[5b(b^2 + 7b)^2 = 5b(b^4 + 14b^3 + 49b^2) = 5b^5 + 70b^4 + 245b^3\]

5) \[(a + 3)(a — 4)^2 = (a + 3)(a^2 — 8a + 16) = a^3 — 8a^2 + 16a + 3a^2 -\]

\[-24a + 48 = a^3 — 5a^2 — 8a + 48\]

6) \[(2x + 4)^2(x — 8) = (4x^2 + 16x + 16)(x — 8) = 4x^3 + 16x^2 + 16x — \]

\[-32x^2 — 128x — 128 = 4x^3 — 16x^2 — 112x — 128\]

7) \[(a — 5)^2(a + 5)^2 = ((a — 5)(a + 5))^2 = (a^2 — 25)^2 = a^4 — 50a^2 + 625\]

8) \[(3x + 4y)^2(3x — 4y)^2 = ((3x + 4y)(3x — 4y))^2 = (9x^2 — 16y^2)^2 = \]

\[=81x^4 — 288x^2y^2 + 256y^4\]

1)

$$6(1 — 2c)^2$$

Шаг 1. Раскроем скобки по формуле квадрата разности:

$$(1 — 2c)^2 = 1^2 — 2 \cdot 1 \cdot 2c + (2c)^2 = 1 — 4c + 4c^2$$

Шаг 2. Умножим результат на 6:

$$6(1 — 4c + 4c^2) = 6 — 24c + 24c^2$$

Ответ:

$$\boxed{6 — 24c + 24c^2}$$

2)

$$-12\left(x + \frac{1}{3}y\right)^2$$

Шаг 1. Формула квадрата суммы:

$$\left(x + \frac{1}{3}y\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3}y + \left(\frac{1}{3}y\right)^2 = x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2$$

Шаг 2. Умножим на $-12$:

$$-12(x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2) = -12x^2 — 8xy — \frac{4}{3}y^2$$

Ответ:

$$\boxed{-12x^2 — 8xy — \frac{4}{3}y^2}$$

3)

$$a(a — 6b)^2$$

Шаг 1. Раскроем квадрат:

$$(a — 6b)^2 = a^2 — 2 \cdot a \cdot 6b + (6b)^2 = a^2 — 12ab + 36b^2$$

Шаг 2. Умножим на $a$:

$$a(a^2 — 12ab + 36b^2) = a^3 — 12a^2b + 36ab^2$$

Ответ:

$$\boxed{a^3 — 12a^2b + 36ab^2}$$

4)

$$5b(b^2 + 7b)^2$$

Шаг 1. Раскроем квадрат суммы:

$$(b^2 + 7b)^2 = (b^2)^2 + 2 \cdot b^2 \cdot 7b + (7b)^2 = b^4 + 14b^3 + 49b^2$$

Шаг 2. Умножим на $5b$:

$$5b(b^4 + 14b^3 + 49b^2) = 5b^5 + 70b^4 + 245b^3$$

Ответ:

$$\boxed{5b^5 + 70b^4 + 245b^3}$$

5)

$$(a + 3)(a — 4)^2$$

Шаг 1. Раскроем квадрат:

$$(a — 4)^2 = a^2 — 8a + 16$$

Шаг 2. Умножим на $a + 3$ по распределительному закону:

$$(a + 3)(a^2 — 8a + 16)$$

Умножаем по членам:

• $a \cdot a^2 = a^3$
• $a \cdot (-8a) = -8a^2$
• $a \cdot 16 = 16a$
• $3 \cdot a^2 = 3a^2$
• $3 \cdot (-8a) = -24a$
• $3 \cdot 16 = 48$

Соберём:

$$a^3 — 8a^2 + 16a + 3a^2 — 24a + 48 \Rightarrow a^3 — 5a^2 — 8a + 48$$

Ответ:

$$\boxed{a^3 — 5a^2 — 8a + 48}$$

6)

$$(2x + 4)^2(x — 8)$$

Шаг 1. Раскроем квадрат:

$$(2x + 4)^2 = 4x^2 + 16x + 16$$

Шаг 2. Умножаем на $x — 8$:

$$(4x^2 + 16x + 16)(x — 8)$$

Умножаем каждый член:

• $4x^2 \cdot x = 4x^3$
• $4x^2 \cdot (-8) = -32x^2$
• $16x \cdot x = 16x^2$
• $16x \cdot (-8) = -128x$
• $16 \cdot x = 16x$
• $16 \cdot (-8) = -128$

Соберём:

$$4x^3 — 32x^2 + 16x^2 — 128x + 16x — 128 = 4x^3 — 16x^2 — 112x — 128$$

Ответ:

$$\boxed{4x^3 — 16x^2 — 112x — 128}$$

7)

$$(a — 5)^2(a + 5)^2$$

Шаг 1. Заметим:

$$(a — 5)(a + 5) = a^2 — 25 \quad \Rightarrow \text{разность квадратов}$$

Шаг 2. Получаем:

$$((a — 5)(a + 5))^2 = (a^2 — 25)^2$$

Теперь раскроем:

$$(a^2 — 25)^2 = a^4 — 2 \cdot a^2 \cdot 25 + 625 = a^4 — 50a^2 + 625$$

Ответ:

$$\boxed{a^4 — 50a^2 + 625}$$

8)

$$(3x + 4y)^2(3x — 4y)^2$$

Шаг 1. Это выражение вида:

$$((3x + 4y)(3x — 4y))^2 = (9x^2 — 16y^2)^2 \quad \text{(разность квадратов)}$$

Шаг 2. Возведём в квадрат:

$$(9x^2 — 16y^2)^2 = 81x^4 — 2 \cdot 9x^2 \cdot 16y^2 + 256y^4 = 81x^4 — 288x^2y^2 + 256y^4$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 81x^4-288x^2{y}^2+256y^4}}$$