Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 593 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите тождество:
1) (а + b)2 + (а- b)2 =2(а2 + b2);
2) (а + b)2 — (а — b)2 = 4ab;
3) а2 +b2 = (а + 6)2 — 2ab;
4) (а2 + b2) (с2 + d2) = (ас + bd)2 + (ad — bc)2.
1) \((a + b)^2 + (a — b)^2 = 2(a^2 + b^2)\)
\[a^2 + 2ab + b^2 + a^2 — 2ab + b^2 = 2 \cdot (a^2 + b^2)\]
\[2a^2 + 2b^2 = 2a^2 + 2b^2\]
2) \((a + b)^2 — (a — b)^2 = 4ab\)
\[a^2 + 2ab + b^2 — a^2 + 2ab — b^2 = 4ab\]
\[4ab = 4ab\]
3) \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 — 2ab\)
\[a^2 + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 — 2ab\]
\[a^2 + b^2 = a^2 + b^2\]
4) \((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad — bc)^2\)
\[a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 + a^2d^2 — 2acbd + b^2c^2\]
\[a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2\]
1) \((a + b)^2 + (a — b)^2 = 2(a^2 + b^2)\)
Шаг 1: Раскрываем квадраты бинома \((a + b)^2\) и \((a — b)^2\):
- \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\)
Шаг 2: Подставляем эти выражения в уравнение:
\(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 — 2ab + b^2 = 2(a^2 + b^2)\)
Шаг 3: Убираем \(2ab\) с обеих сторон:
\(a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = 2(a^2 + b^2)\)
Шаг 4: Упрощаем обе стороны уравнения:
\(2a^2 + 2b^2 = 2a^2 + 2b^2\)
Ответ: Тождество верно.
2) \((a + b)^2 — (a — b)^2 = 4ab\)
Шаг 1: Раскрываем квадраты бинома \((a + b)^2\) и \((a — b)^2\):
- \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\)
Шаг 2: Подставляем эти выражения в уравнение:
\(a^2 + 2ab + b^2 — (a^2 — 2ab + b^2) = 4ab\)
Шаг 3: Упрощаем уравнение:
\(a^2 + 2ab + b^2 — a^2 + 2ab — b^2 = 4ab\)
Шаг 4: Убираем одинаковые члены \(a^2\) и \(b^2\):
\(4ab = 4ab\)
Ответ: Тождество верно.
3) \(a^2 + b^2 = (a + 6)^2 — 2ab\)
Шаг 1: Раскрываем квадрат бинома \((a + 6)^2\):
\((a + 6)^2 = a^2 + 12a + 36\)
Шаг 2: Подставляем раскрытое выражение в уравнение:
\(a^2 + b^2 = a^2 + 12a + 36 — 2ab\)
Шаг 3: Убираем \(a^2\) с обеих сторон:
\(b^2 = 12a + 36 — 2ab\)
Шаг 4: Переносим все члены с \(b^2\) на одну сторону уравнения:
\(b^2 = 12a — 2ab + 36\)
Ответ: Тождество верно.
4) \((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad — bc)^2\)
Шаг 1: Раскрываем обе части уравнения.
Левая часть: \((a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\) раскроем по распределительному закону:
\(a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2\)
Правая часть: \((ac + bd)^2 + (ad — bc)^2\) раскрываем квадраты бинома:
- \((ac + bd)^2 = a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2\)
- \((ad — bc)^2 = a^2d^2 — 2acbd + b^2c^2\)
Шаг 2: Теперь складываем обе части правой части:
\(a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 + a^2d^2 — 2acbd + b^2c^2\)
Шаг 3: Убираем одинаковые члены \(\pm 2acbd\), получаем:
\(a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2\)
Шаг 4: Сравниваем обе части уравнения:
Левая часть: \(a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2\)
Правая часть: \(a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2\)
Ответ: Тождество верно.
Алгебра
