Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 602 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Чему равен остаток при делении квадрата нечётного натурального числа на 8?
Пусть нечетное число \(2n + 1\).
\[
\frac{(2n + 1)^2}{8} = \frac{4n^2 + 4n + 1}{8} = \frac{4n(n + 1) + 1}{8},
\]
так как \(n\) и \(n + 1\) — последовательные числа, то один из множителей делится на 2, но есть еще множитель 4, тогда выражение \(4n(n + 1)\) делится на 8.
Следовательно, остаток будет равен 1.
Задача: Пусть нечетное число \(2n + 1\).
Для начала рассмотрим выражение, которое мы хотим проанализировать:
\(\frac{(2n + 1)^2}{8}\).
Шаг 1: Раскроем квадрат в числителе. Используя формулу \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\), мы получаем:
\((2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1\).
Таким образом, выражение становится:
\(\frac{(2n + 1)^2}{8} = \frac{4n^2 + 4n + 1}{8} = \frac{4n(n + 1) + 1}{8}\).
Шаг 2: Теперь рассмотрим выражение \(\frac{4n(n + 1) + 1}{8}\).
Шаг 3: Обратим внимание, что \(n\) и \(n + 1\) — это последовательные целые числа, то есть одно из них обязательно будет четным, а другое — нечетным. Мы можем заметить, что один из множителей \(n\) и \(n + 1\) делится на 2. Таким образом, произведение \(n(n + 1)\) всегда делится на 2, а следовательно, \(4n(n + 1)\) будет делиться на 8.
Шаг 4: Таким образом, выражение \(4n(n + 1)\) делится на 8, и можно записать его как:
\(\frac{4n(n + 1)}{8} = \frac{1}{2}n(n + 1)\), что является целым числом.
Шаг 5: Теперь рассмотрим оставшуюся часть выражения \(+ 1\). Когда мы добавляем 1 к числу, которое делится на 8, то результат будет давать остаток от деления 1 при делении на 8.
Шаг 6: Таким образом, остаток от деления всего выражения \(\frac{(2n + 1)^2}{8}\) на 1, поскольку \(4n(n + 1)\) делится на 8, а единица остается в остатке.
Ответ: Следовательно, остаток от деления выражения \(\frac{(2n + 1)^2}{8}\) всегда равен 1.
Алгебра
