Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 603 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Выясните, какой остаток может давать квадрат натурального числа при делении на 4.
Если натуральное число чётное, то при возведении его в квадрат и делении на 4 остатка не будет:
\[
2^2 : 4 = 4 : 4 = 1, \quad 8^2 : 4 = 64 : 4 = 16.
\]
Если натуральное число нечётное, то при возведении его в квадрат и делении на 4 остаток будет равен 1:
\[
3^2 : 4 = 9 : 4 = 2 \, (\text{ост. } 1), \quad 7^2 : 4 = 49 : 4 = 12 \, (\text{ост. } 1).
\]
Задача: Рассмотрим, что происходит с остатком при возведении числа в квадрат и делении на 4, если число четное или нечетное.
Шаг 1: Рассмотрим четное натуральное число. Пусть \(n\) — четное число. Тогда его можно записать как \(n = 2k\), где \(k\) — некоторое целое число. Теперь возведем это число в квадрат:
\(n^2 = (2k)^2 = 4k^2\).
Теперь разделим результат на 4:
\(\frac{n^2}{4} = \frac{4k^2}{4} = k^2\).
Таким образом, при делении квадрата четного числа на 4 остаток всегда будет равен 0, так как \(k^2\) всегда является целым числом.
Пример:
Для числа \(2\): \(\frac{2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1\).
Для числа \(8\): \(\frac{8^2}{4} = \frac{64}{4} = 16\).
Шаг 2: Теперь рассмотрим нечетное натуральное число. Пусть \(n\) — нечетное число, и его можно записать как \(n = 2k + 1\), где \(k\) — целое число. Возведем это число в квадрат:
\(n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1\).
Теперь разделим результат на 4:
\(\frac{n^2}{4} = \frac{4k^2 + 4k + 1}{4} = k^2 + k + \frac{1}{4}\).
Из этого видно, что при делении квадрата нечетного числа на 4 остаток всегда будет равен 1, так как дробная часть будет равна \(\frac{1}{4}\), которая оставляет остаток 1 при делении.
Пример:
Для числа \(3\): \(\frac{3^2}{4} = \frac{9}{4} = 2 \, (\text{ост. } 1)\).
Для числа \(7\): \(\frac{7^2}{4} = \frac{49}{4} = 12 \, (\text{ост. } 1)\).
Ответ: Таким образом, если число четное, при возведении его в квадрат и делении на 4 остатка не будет. Если число нечетное, то остаток от деления квадрата на 4 будет равен 1.
Алгебра
