Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 613 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите тождество:
(2n +1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2 +2n + 1)2.
Данное тождество является правилом великого древнегреческого учёного Пифагора (VT в. до н. э.) для вычисления целочисленных значений длин сторон прямоугольного треугольника. При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений 2n + 1; 2n2 + 2n; 2n1 + 2n + 1 являются длинами сторон прямоугольного треугольника.
\[
(2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2
\]
\[
4n^2 + 4n + 1 + 4n^4 + 8n^3 + 4n^2 = (2n^2 + 2n + 1)(2n^2 + 2n + 1)
\]
\[
4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1 = 4n^4 + 4n^3 + 2n^2 + 4n^3 + 4n^2 + \]
\[+2n + 2n^2 + 2n + 1 4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1 = 4n^4 + 8n^3 +\]
\[+8n^2 + 4n + 1
\]
Задача: Докажите тождество:
\[
(2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2
\]
Решение:
Шаг 1: Раскроем квадраты в обоих выражениях на левой и правой части тождества. Начнем с раскрытия квадратов на левой части:
\[
(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1
\]
Теперь раскроем квадрат второго выражения:
\[
(2n^2 + 2n)^2 = 4n^4 + 8n^3 + 4n^2
\]
Теперь подставим эти значения в исходное тождество:
\[
4n^2 + 4n + 1 + 4n^4 + 8n^3 + 4n^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2
\]
Шаг 2: Раскроем квадрат на правой части тождества, используя формулу для квадрата суммы \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), где \(a = 2n^2 + 2n\) и \(b = 1\):
\[
(2n^2 + 2n + 1)^2 = (2n^2 + 2n)^2 + 2(2n^2 + 2n)(1) + 1^2
\]
Раскроем эти выражения:
\[
(2n^2 + 2n)^2 = 4n^4 + 8n^3 + 4n^2
\]
\[
2(2n^2 + 2n)(1) = 4n^2 + 4n
\]
\[
1^2 = 1
\]
Теперь подставим эти значения в правую часть уравнения:
\[
4n^4 + 8n^3 + 4n^2 + 4n^2 + 4n + 1 = 4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1
\]
Шаг 3: Подставим все в исходное тождество:
\[
4n^2 + 4n + 1 + 4n^4 + 8n^3 + 4n^2 = 4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1
\]
Шаг 4: Упростим обе части тождества, приводя подобные слагаемые:
\[
4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1 = 4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1
\]
Шаг 5: Мы видим, что обе части тождества совпадают, что означает, что тождество верно для всех значений \(n\).
Ответ: Тождество всегда верно, и оно не имеет ограничений для \(n\).
Алгебра
