ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 613 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите тождество:

(2n +1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2 +2n + 1)2.

Данное тождество является правилом великого древнегреческого учёного Пифагора (VT в. до н. э.) для вычисления целочисленных значений длин сторон прямоугольного треугольника. При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений 2n + 1; 2n2 + 2n; 2n1 + 2n + 1 являются длинами сторон прямоугольного треугольника.

\[
(2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2
\]

\[
4n^2 + 4n + 1 + 4n^4 + 8n^3 + 4n^2 = (2n^2 + 2n + 1)(2n^2 + 2n + 1)
\]

\[
4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1 = 4n^4 + 4n^3 + 2n^2 + 4n^3 + 4n^2 + \]

\[+2n + 2n^2 + 2n + 1 4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1 = 4n^4 + 8n^3 +\]

\[+8n^2 + 4n + 1
\]

Задача: Докажите тождество:

\[
(2n + 1)^2 + (2n^2 + 2n)^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2
\]

Решение:

Шаг 1: Раскроем квадраты в обоих выражениях на левой и правой части тождества. Начнем с раскрытия квадратов на левой части:

\[
(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1
\]

Теперь раскроем квадрат второго выражения:

\[
(2n^2 + 2n)^2 = 4n^4 + 8n^3 + 4n^2
\]

Теперь подставим эти значения в исходное тождество:

\[
4n^2 + 4n + 1 + 4n^4 + 8n^3 + 4n^2 = (2n^2 + 2n + 1)^2
\]

Шаг 2: Раскроем квадрат на правой части тождества, используя формулу для квадрата суммы \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), где \(a = 2n^2 + 2n\) и \(b = 1\):

\[
(2n^2 + 2n + 1)^2 = (2n^2 + 2n)^2 + 2(2n^2 + 2n)(1) + 1^2
\]

Раскроем эти выражения:

\[
(2n^2 + 2n)^2 = 4n^4 + 8n^3 + 4n^2
\]

\[
2(2n^2 + 2n)(1) = 4n^2 + 4n
\]

\[
1^2 = 1
\]

Теперь подставим эти значения в правую часть уравнения:

\[
4n^4 + 8n^3 + 4n^2 + 4n^2 + 4n + 1 = 4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1
\]

Шаг 3: Подставим все в исходное тождество:

\[
4n^2 + 4n + 1 + 4n^4 + 8n^3 + 4n^2 = 4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1
\]

Шаг 4: Упростим обе части тождества, приводя подобные слагаемые:

\[
4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1 = 4n^4 + 8n^3 + 8n^2 + 4n + 1
\]

Шаг 5: Мы видим, что обе части тождества совпадают, что означает, что тождество верно для всех значений \(n\).

Ответ: Тождество всегда верно, и оно не имеет ограничений для \(n\).