1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Учебник 📕 Мерзляк, Полонский, Якир — Все Части
Алгебра
7 класс учебник Мерзляк
7 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Авторы
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Год
2018-2024.
Описание

Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.

Основные темы

  • Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
  • Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
  • Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
  • Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
  • Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.

Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.

ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 614 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

(Тождество Ж.Л. Лагранжа.) Докажите тождество:

(а2 + b2 + с2) (m2 + n2 + k2) — (am + bn + ck)2 = = (an — bm)2 + (ak — cm)2 + (bk — cn)2.

Краткий ответ:

\[
(a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) — (am + bn + ck)^2 = (an — bm)^2 +\]

\[+(ak — cm)^2 + (bk — cn)^2
\]

Разложим выражение с левой стороны от знака равенства:

\[
a^2m^2 + a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2n^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 + c^2k^2 — \]

\[-a^2m^2 — b^2n^2 — c^2k^2 — 2ambn — 2bnck — 2amck =
\]

\[
(a^2n^2 — 2ambn + b^2m^2) + (a^2k^2 — 2amck + c^2m^2) + (b^2k^2 — 2bnck +\[

\[c^2n^2) = (an — bm)^2 + (ak — cm)^2 + (bk — cn)^2
\]

Получили равенство:

\[
(an — bm)^2 + (ak — cm)^2 + (bk — cn)^2 = (an — bm)^2 +\]

\[(ak — cm)^2 + (bk — cn)^2
\]

Подробный ответ:

Шаг 1: Раскроем выражение с левой стороны от знака равенства. Начнем с раскрытия произведений в выражении \((a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2)\):

\[
(a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) = a^2m^2 + a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2n^2 +\]

\[+b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 + c^2k^2
\]

Теперь раскроем квадрат \((am + bn + ck)^2\) по формуле \((x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz\), где \(x = am\), \(y = bn\) и \(z = ck\):

\[
(am + bn + ck)^2 = a^2m^2 + b^2n^2 + c^2k^2 + 2abmn + 2acmk + 2bcnk
\]

Теперь подставим все эти выражения в исходное уравнение:

\[
a^2m^2 + a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2n^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 + c^2k^2 -\]

\[-(a^2m^2 + b^2n^2 + c^2k^2 + 2abmn + 2acmk + 2bcnk)
\]

Шаг 2: Теперь упростим выражение, вычитая каждый член с правой части уравнения из соответствующего члена с левой стороны. Члены с \(m^2\), \(n^2\) и \(k^2\) сократятся:

\[
a^2m^2 — a^2m^2 + b^2n^2 — b^2n^2 + c^2k^2 — c^2k^2 = 0
\]

Остальные члены остаются:

\[
a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 — 2abmn — 2acmk — 2bcnk
\]

Шаг 3: Группируем полученные выражения для удобства:

\[
(a^2n^2 — 2abmn + b^2m^2) + (a^2k^2 — 2acmk + c^2m^2) + \]

\[(b^2k^2 — 2bcnk + c^2n^2)
\]

Шаг 4: Обратите внимание, что каждое из выражений представляет собой квадрат разности. Используем формулу для квадрата разности \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\) для каждого из них:

\[
(a^2n^2 — 2abmn + b^2m^2) = (an — bm)^2
\]

\[
(a^2k^2 — 2acmk + c^2m^2) = (ak — cm)^2
\]

\[
(b^2k^2 — 2bcnk + c^2n^2) = (bk — cn)^2
\]

Шаг 5: Подставляем эти выражения в исходное уравнение, получаем:

\[
(an — bm)^2 + (ak — cm)^2 + (bk — cn)^2
\]

Шаг 6: Мы видим, что правая часть уравнения совпала с левой, и, следовательно, тождество доказано:

\[
(an — bm)^2 + (ak — cm)^2 + (bk — cn)^2 = (an — bm)^2 + (ak — cm)^2 + \]

\[+(bk — cn)^2
\]

Ответ: Тождество доказано.


Алгебра

Общая оценка
4.9 / 5
Комментарии
Другие предметы