Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 614 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
(Тождество Ж.Л. Лагранжа.) Докажите тождество:
(а2 + b2 + с2) (m2 + n2 + k2) — (am + bn + ck)2 = = (an — bm)2 + (ak — cm)2 + (bk — cn)2.
\[
(a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) — (am + bn + ck)^2 = (an — bm)^2 +\]
\[+(ak — cm)^2 + (bk — cn)^2
\]
Разложим выражение с левой стороны от знака равенства:
\[
a^2m^2 + a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2n^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 + c^2k^2 — \]
\[-a^2m^2 — b^2n^2 — c^2k^2 — 2ambn — 2bnck — 2amck =
\]
\[
(a^2n^2 — 2ambn + b^2m^2) + (a^2k^2 — 2amck + c^2m^2) + (b^2k^2 — 2bnck +\[
\[c^2n^2) = (an — bm)^2 + (ak — cm)^2 + (bk — cn)^2
\]
Получили равенство:
\[
(an — bm)^2 + (ak — cm)^2 + (bk — cn)^2 = (an — bm)^2 +\]
\[(ak — cm)^2 + (bk — cn)^2
\]
Шаг 1: Раскроем выражение с левой стороны от знака равенства. Начнем с раскрытия произведений в выражении \((a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2)\):
\[
(a^2 + b^2 + c^2)(m^2 + n^2 + k^2) = a^2m^2 + a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2n^2 +\]
\[+b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 + c^2k^2
\]
Теперь раскроем квадрат \((am + bn + ck)^2\) по формуле \((x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz\), где \(x = am\), \(y = bn\) и \(z = ck\):
\[
(am + bn + ck)^2 = a^2m^2 + b^2n^2 + c^2k^2 + 2abmn + 2acmk + 2bcnk
\]
Теперь подставим все эти выражения в исходное уравнение:
\[
a^2m^2 + a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2n^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 + c^2k^2 -\]
\[-(a^2m^2 + b^2n^2 + c^2k^2 + 2abmn + 2acmk + 2bcnk)
\]
Шаг 2: Теперь упростим выражение, вычитая каждый член с правой части уравнения из соответствующего члена с левой стороны. Члены с \(m^2\), \(n^2\) и \(k^2\) сократятся:
\[
a^2m^2 — a^2m^2 + b^2n^2 — b^2n^2 + c^2k^2 — c^2k^2 = 0
\]
Остальные члены остаются:
\[
a^2n^2 + a^2k^2 + b^2m^2 + b^2k^2 + c^2m^2 + c^2n^2 — 2abmn — 2acmk — 2bcnk
\]
Шаг 3: Группируем полученные выражения для удобства:
\[
(a^2n^2 — 2abmn + b^2m^2) + (a^2k^2 — 2acmk + c^2m^2) + \]
\[(b^2k^2 — 2bcnk + c^2n^2)
\]
Шаг 4: Обратите внимание, что каждое из выражений представляет собой квадрат разности. Используем формулу для квадрата разности \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\) для каждого из них:
\[
(a^2n^2 — 2abmn + b^2m^2) = (an — bm)^2
\]
\[
(a^2k^2 — 2acmk + c^2m^2) = (ak — cm)^2
\]
\[
(b^2k^2 — 2bcnk + c^2n^2) = (bk — cn)^2
\]
Шаг 5: Подставляем эти выражения в исходное уравнение, получаем:
\[
(an — bm)^2 + (ak — cm)^2 + (bk — cn)^2
\]
Шаг 6: Мы видим, что правая часть уравнения совпала с левой, и, следовательно, тождество доказано:
\[
(an — bm)^2 + (ak — cm)^2 + (bk — cn)^2 = (an — bm)^2 + (ak — cm)^2 + \]
\[+(bk — cn)^2
\]
Ответ: Тождество доказано.
Алгебра
