ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 623 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что натуральные числа m и n таковы, что значение выражения 10m + n делится нацело на 11. Докажите, что значение выражения (10m + n)(10n + m) делится нацело на 121.

Так как \(10m + n\) делится на 11, то \(10m + n = 11a\), \(a\) — частное при делении.
Значит, \(m = n\):

\((10m + n)(10n + m) = 11a \cdot 11a = 121a^2\) — делится на 121.

Задача: Доказать, что произведение \((10m + n)(10n + m)\) делится на 121, если \(10m + n\) делится на 11.

Решение:

Шаг 1: Пусть \(10m + n\) делится на 11. Это означает, что существует такое целое число \(a\), что:

\[
10m + n = 11a
\]

Здесь \(a\) — это частное при делении \(10m + n\) на 11. Таким образом, выражение \(10m + n\) делится на 11.

Шаг 2: Теперь подставим выражение \(10m + n = 11a\) в формулу произведения \((10m + n)(10n + m)\):

\[
(10m + n)(10n + m) = 11a \cdot (10n + m)
\]

Шаг 3: Мы можем заметить, что второе слагаемое \(10n + m\) по аналогии с первым выражением можно также записать как \(10m + n\), так как \(m\) и \(n\) симметричны. То есть:

\[
10n + m = 10m + n
\]

Таким образом, выражение становится:

\[
(10m + n)(10n + m) = 11a \cdot 11a = 121a^2
\]

Шаг 4: Видим, что произведение \((10m + n)(10n + m)\) равно \(121a^2\), которое явно делится на 121, так как \(121a^2\) — это произведение числа 121 и целого числа \(a^2\).

Ответ: Таким образом, произведение \((10m + n)(10n + m)\) делится на 121.