ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 643 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) (a-1)2 +2(а-1) + 1 = а2;

2) (а + b)2 — 2(а + b) (a- b) +(a- b)2 = 4b2;

3) (а — 8)2 + 2(а — 8)(3 — а) + (а — 3)2 = 25;

4) (хn — 2)2 — 2(хn — 2)(хn + 2) + (xn + 2)2 = 16, где n — произвольное натуральное число.

$(a — 1)^2 + 2(a — 1) + 1 = a^2$
$a^2 — 2a + 1 + 2a — 2 + 1 = a^2$
$a^2 = a^2 \to \text{верно.}$

$(a + b)^2 — 2(a + b)(a — b) + (a — b)^2 = 4b^2$
$a^2 + 2ab + b^2 — 2(a^2 — b^2) + a^2 — 2ab + b^2 = 4b^2$
$2a^2 + 2b^2 — 2a^2 + 2b^2 = 4b^2$
$4b^2 = 4b^2 \to \text{верно.}$

$(a — 8)^2 + 2(a — 8)(3 — a) + (a — 3)^2 = 25$
$a^2 — 16a + 64 + 2(3a — a^2 — 24 + 8a) + a^2 — 6a + 9 = 25$
$2a^2 — 22a + 73 + 2(11a — a^2 — 24) = 25$
$2a^2 — 22a + 73 + 22a — 2a^2 — 48 = 25$
$25 = 25 \to \text{верно.}$

$(x^n — 2)^2 — 2(x^n — 2)(x^n + 2) + (x^n + 2)^2 = 16$
$x^{2n} — 4x^n + 4 — 2(x^{2n} — 4) + x^{2n} + 4x^n + 4 = 16$
$2x^{2n} + 8 — 2x^{2n} + 8 = 16$
$16 = 16 \to \text{верно.}$

1)

Докажем тождество:

$$(a — 1)^2 + 2(a — 1) + 1 = a^2$$

Раскроем каждое выражение в левой части:

1. $(a — 1)^2 = a^2 — 2a + 1$ — по формуле квадрата разности
2. $2(a — 1) = 2a — 2$ — обычное распределение умножения
3. $+1$ — оставляем как есть

Подставим всё в выражение:

$$a^2 — 2a + 1 + 2a — 2 + 1$$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$$a^2 + (-2a + 2a) + (1 — 2 + 1) = a^2 + 0 + 0 = a^2$$

Правая часть равенства:

$$a^2$$

Вывод:

$$a^2 = a^2 \quad \text{– верно.}$$

2)

Докажем тождество:

$$(a + b)^2 — 2(a + b)(a — b) + (a — b)^2 = 4b^2$$

Раскроем все скобки:

1. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. $(a + b)(a — b) = a^2 — b^2$ — по формуле разности квадратов
   Значит, $2(a + b)(a — b) = 2a^2 — 2b^2$
3. $(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$

Подставим в левую часть выражения:

$$(a^2 + 2ab + b^2) — 2(a^2 — b^2) + (a^2 — 2ab + b^2)$$

Раскроем скобки:

$$a^2 + 2ab + b^2 — 2a^2 + 2b^2 + a^2 — 2ab + b^2$$

Группируем подобные слагаемые:

• $a^2 — 2a^2 + a^2 = 0$
• $2ab — 2ab = 0$
• $b^2 + 2b^2 + b^2 = 4b^2$

Итог:

$$0 + 0 + 4b^2 = 4b^2$$

Правая часть равенства:

$$4b^2$$

Вывод:

$$4b^2 = 4b^2 \quad \text{– верно.}$$

3)

Докажем тождество:

$$(a — 8)^2 + 2(a — 8)(3 — a) + (a — 3)^2 = 25$$

1. Раскроем $(a — 8)^2$:

$$(a — 8)^2 = a^2 — 16a + 64$$

2. Раскроем $2(a — 8)(3 — a)$:

• Заметим: $3 — a = -(a — 3)$, тогда:

$$(a — 8)(3 — a) = -(a — 8)(a — 3)$$ $$(a — 8)(a — 3) = a^2 — 3a — 8a + 24 = a^2 — 11a + 24$$ $$2(a — 8)(3 — a) = -2(a^2 — 11a + 24) = -2a^2 + 22a — 48$$

3. Раскроем $(a — 3)^2$:

$$(a — 3)^2 = a^2 — 6a + 9$$

Подставим всё в левую часть:

$$(a^2 — 16a + 64) + (-2a^2 + 22a — 48) + (a^2 — 6a + 9)$$

Убираем скобки и группируем:

• $a^2 — 2a^2 + a^2 = 0$
• $-16a + 22a — 6a = 0$
• $64 — 48 + 9 = 25$

Итог:

$$0 + 0 + 25 = 25$$

Правая часть равенства:

$$25$$

Вывод:

$$25 = 25 \quad \text{– верно.}$$

4)

Докажем тождество:

$$(x^n — 2)^2 — 2(x^n — 2)(x^n + 2) + (x^n + 2)^2 = 16$$

1. Раскроем $(x^n — 2)^2$:

$$(x^n — 2)^2 = (x^n)^2 — 2 \cdot x^n \cdot 2 + 4 = x^{2n} — 4x^n + 4$$

2. Раскроем $2(x^n — 2)(x^n + 2)$:

• По формуле разности квадратов:

$$(x^n — 2)(x^n + 2) = (x^n)^2 — 4 = x^{2n} — 4$$ $$2(x^n — 2)(x^n + 2) = 2(x^{2n} — 4) = 2x^{2n} — 8$$

3. Раскроем $(x^n + 2)^2$:

$$(x^n + 2)^2 = x^{2n} + 4x^n + 4$$

Подставим всё в левую часть:

$$(x^{2n} — 4x^n + 4) — (2x^{2n} — 8) + (x^{2n} + 4x^n + 4)$$

Убираем скобки:

$$x^{2n} — 4x^n + 4 — 2x^{2n} + 8 + x^{2n} + 4x^n + 4$$

Группируем:

• $x^{2n} — 2x^{2n} + x^{2n} = 0$
• $-4x^n + 4x^n = 0$
• $4 + 8 + 4 = 16$

Итог:

$$0 + 0 + 16 = 16$$

Правая часть:

$$16$$

Вывод:

$$16 = 16 \quad \text{– верно.}$$