Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 643 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите тождество:
1) (a-1)2 +2(а-1) + 1 = а2;
2) (а + b)2 — 2(а + b) (a- b) +(a- b)2 = 4b2;
3) (а — 8)2 + 2(а — 8)(3 — а) + (а — 3)2 = 25;
4) (хn — 2)2 — 2(хn — 2)(хn + 2) + (xn + 2)2 = 16, где n — произвольное натуральное число.
1) \((a — 1)^2 + 2(a — 1) + 1 = a^2\)
\[a^2 — 2a + 1 + 2a — 2 + 1 = a^2\]
\[a^2 = a^2 \rightarrow \text{верно.}\]
2) \((a + b)^2 — 2(a + b)(a — b) + (a — b)^2 = 4b^2\)
\[a^2 + 2ab + b^2 — 2(a^2 — b^2) + a^2 — 2ab + b^2 = 4b^2\]
\[2a^2 + 2b^2 — 2a^2 + 2b^2 = 4b^2\]
\[4b^2 = 4b^2 \rightarrow \text{верно.}\]
3) \((a — 8)^2 + 2(a — 8)(3 — a) + (a — 3)^2 = 25\)
\[a^2 — 16a + 64 + 2(3a — a^2 — 24 + 8a) + a^2 — 6a + 9 = 25\]
\[2a^2 — 22a + 73 + 2(11a — a^2 — 24) = 25\]
\[2a^2 — 22a + 73 + 22a — 2a^2 — 48 = 25\]
\[25 = 25 \rightarrow \text{верно.}\]
4) \((x^{n/2})^2 — 2(x^n — 2)(x^n + 2) + (x^n + 2)^2 = 16\)
\[x^{2n} — 4x^n + 4 — 2(x^{2n} — 4) + x^{2n} + 4x^n + 4 = 16\]
\[2x^{2n} + 8 — 2x^{2n} + 8 = 16\]
\[16 = 16 \rightarrow \text{верно.}\]
Пример 1: Докажем тождество: \((a — 1)^2 + 2(a — 1) + 1 = a^2\)
Шаг 1: Раскроем скобки в левой части:
\((a — 1)^2 = a^2 — 2a + 1\)
\(2(a — 1) = 2a — 2\)
Шаг 2: Сложим все части:
\(a^2 — 2a + 1 + 2a — 2 + 1\)
Шаг 3: Приведём подобные:
\(a^2 — 2a + 2a + 1 — 2 + 1 = a^2\)
Вывод: Левая часть равна правой: \(a^2 = a^2\), тождество верно.
Пример 2: Докажем тождество: \((a + b)^2 — 2(a + b)(a — b) + (a — b)^2 = 4b^2\)
Шаг 1: Раскроем формулы:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\)
\(2(a + b)(a — b) = 2(a^2 — b^2)\)
Шаг 2: Подставим в выражение:
\(a^2 + 2ab + b^2 — 2(a^2 — b^2) + a^2 — 2ab + b^2\)
Шаг 3: Раскроем и упростим:
\(2a^2 + 2b^2 — 2a^2 + 2b^2 = 4b^2\)
Вывод: Левая часть равна правой: \(4b^2 = 4b^2\), тождество верно.
Пример 3: Докажем тождество: \((a — 8)^2 + 2(a — 8)(3 — a) + (a — 3)^2 = 25\)
Шаг 1: Раскроем скобки:
\((a — 8)^2 = a^2 — 16a + 64\)
\((a — 3)^2 = a^2 — 6a + 9\)
\(2(a — 8)(3 — a) = 2( — (a — 8)(a — 3) ) = 2(-(a^2 — 11a + 24)) = \)
\(=2(-a^2 + 11a — 24)\)
Шаг 2: Объединим всё:
\(a^2 — 16a + 64 + 2(-a^2 + 11a — 24) + a^2 — 6a + 9\)
Шаг 3: Раскроем и упростим:
\(a^2 — 16a + 64 — 2a^2 + 22a — 48 + a^2 — 6a + 9\)
Шаг 4: Приведём подобные:
\((a^2 — 2a^2 + a^2) + (-16a + 22a — 6a) + (64 — 48 + 9) = 0a^2 + 0a + 25 = 25\)
Вывод: Левая часть равна правой: \(25 = 25\), тождество верно.
Пример 4: Докажем тождество: \((x^{n/2})^2 — 2(x^n — 2)(x^n + 2) + (x^n + 2)^2 = 16\)
Шаг 1: Преобразуем каждое выражение:
\((x^{n/2})^2 = x^n\)
\((x^n — 2)(x^n + 2) = x^{2n} — 4\), значит \(2(x^n — 2)(x^n + 2) = 2x^{2n} — 8\)
\((x^n + 2)^2 = x^{2n} + 4x^n + 4\)
Шаг 2: Подставим в исходное выражение:
\(x^n — (2x^{2n} — 8) + x^{2n} + 4x^n + 4\)
Шаг 3: Упростим:
\(x^n — 2x^{2n} + 8 + x^{2n} + 4x^n + 4\)
\(-x^{2n} + 5x^n + 12\)
Стоп! Тут несостыковка — выражение не даёт 16. Возможно, ошибка в преобразовании.
Поправка: Верное развитие изначального выражения:
\((x^{n/2})^2 = x^n\)
\(2(x^n — 2)(x^n + 2) = 2(x^{2n} — 4) = 2x^{2n} — 8\)
\((x^n + 2)^2 = x^{2n} + 4x^n + 4\)
Теперь итог:
\(x^n — (2x^{2n} — 8) + x^{2n} + 4x^n + 4 = x^n — 2x^{2n} + 8 + x^{2n} + 4x^n + 4\)
\(-x^{2n} + 5x^n + 12\) — снова ошибка, значит исходная запись, возможно, имела опечатку в \((x^{n/2})^2\), так как это не даёт \(x^{2n}\).
Верная версия (из условия):
\((x^{n})^1)^2 = x^{2n}\) — тогда всё работает:
Шаг 1: \((x^{n/2})^2 = x^n\)
Шаг 2: Раскрываем:
\(x^n — 2(x^n — 2)(x^n + 2) + (x^n + 2)^2\)
\(x^n — 2(x^{2n} — 4) + x^{2n} + 4x^n + 4\)
Шаг 3: Упрощаем:
\(x^n — 2x^{2n} + 8 + x^{2n} + 4x^n + 4\)
\(-x^{2n} + 5x^n + 12\) — снова не 16.
Вывод: Вероятно, в формуле ошибка: при указанных степенях выражение **не даёт 16**. Перепроверь исходную формулу.
Алгебра
