ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 645 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение не имеет корней:

1) х2 — 14х + 52 = 0;

2) 4х2 — 2х + 1 = 0.

1) \[x^2 — 14x + 52 = 0\]

\[x^2 — 14x + 49 + 3 = 0\]

\[(x — 7)^2 = -3 \rightarrow\] уравнение не имеет корней, так как \((x — 7)^2 \geq 0\).

2) \[4x^2 — 2x + 1 = 0\]

\[3x^2 — 2x + 1 = 0\]

\[3x^2 + (x — 1)^2 = 0\]

\[(x — 1)^2 = -3x^2 \rightarrow\] уравнение не имеет корней, так как \((x — 1)^2 \geq 0\).

1)

Рассмотрим уравнение:

$$x^2 — 14x + 52 = 0$$

Шаг 1. Приведение к полному квадрату

Наша цель — представить уравнение в виде:

$$(x — a)^2 + b = 0$$

Для этого найдём такое число, чтобы:

$$x^2 — 14x + \underline{?}$$

было полным квадратом. Вспомним формулу:

$$(x — 7)^2 = x^2 — 14x + 49$$

Значит:

$$x^2 — 14x + 52 = (x — 7)^2 + 3$$

Проверим:

$$(x — 7)^2 + 3 = x^2 — 14x + 49 + 3 = x^2 — 14x + 52$$

Шаг 2. Подстановка

Тогда уравнение можно записать так:

$$(x — 7)^2 + 3 = 0$$

Шаг 3. Перенос константы вправо

$$(x — 7)^2 = -3$$

Шаг 4. Анализ

Квадрат любого вещественного числа не может быть отрицательным:

$$(x — 7)^2 \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Но у нас:

$$(x — 7)^2 = -3 < 0$$

Это невозможно в множестве действительных чисел.

Вывод:

Уравнение не имеет корней, так как квадрат выражения не может быть равен отрицательному числу.

2)

Рассмотрим уравнение:

$$4x^2 — 2x + 1 = 0$$

Шаг 1. Попробуем привести к полному квадрату

Разделим обе части уравнения на 4 (для упрощения старшего коэффициента):

$$x^2 — \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} = 0.25 \quad \text{(или запишем иначе:)} \quad x^2 — \frac{1}{2}x + 1 = 0$$

Теперь представим:

$$x^2 — \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} + \left(1 — \frac{1}{16}\right) = 0$$ $$x^2 — \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} + \frac{15}{16} = 0$$ $$\left(x — \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{15}{16} = 0$$

Шаг 2. Подстановка в уравнение

Теперь:

$$\left(x — \frac{1}{4}\right)^2 = -\frac{15}{16}$$

Шаг 3. Анализ

Снова:

$$\left(x — \frac{1}{4}\right)^2 \geq 0, \quad \text{а у нас } = -\frac{15}{16} < 0$$

Это невозможно.

Вывод:

Уравнение не имеет корней, так как квадрат выражения не может быть равен отрицательному числу.

Общий вывод:

Оба уравнения приведены к виду:

$$(\text{некоторое выражение})^2 = \text{отрицательное число}$$

Такого быть не может в действительных числах, значит:

Оба уравнения не имеют корней.