1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Учебник 📕 Мерзляк, Полонский, Якир — Все Части
Алгебра
7 класс учебник Мерзляк
7 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Авторы
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Год
2018-2024.
Описание

Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.

Основные темы

  • Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
  • Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
  • Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
  • Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
  • Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.

Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.

ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 646 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях х; укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х:

1) х2 — 6х + 10;

2) 16х2+24Х + 25;

3) х2+х + 1.

Краткий ответ:

1) \[x^2 — 6x + 10 = x^2 — 6x + 9 + 1 = (x — 3)^2 + 1\]

\[(x — 3)^2 \geq 0, \, 1 > 0,\] следовательно, всё выражение положительное.

Наименьшее значение \((x — 3)^2 + 1 = 1\), при \(x — 3 = 0\), при \(x = 3\).

2) \[16x^2 + 24x + 25 = 16x^2 + 24x + 9 + 16 = (4x + 3)^2 + 16\]

\[(4x + 3)^2 \geq 0, \, 16 > 0,\] следовательно, всё выражение принимает положительное значение.

Наименьшее значение \((4x + 3)^2 + 16 = 16\), при \(4x + 3 = 0\), при \(x = -\frac{3}{4}\).

3) \[x^2 + x + 1 = x^2 + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\]

\[\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0, \, \frac{3}{4} > 0,\] следовательно, всё выражение принимает положительное значение.

Наименьшее значение \(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\), при \(x + \frac{1}{2} = 0\), при \(x = -\frac{1}{2}\).

Подробный ответ:

1) Рассмотрим выражение

\[x^2 — 6x + 10\]

Для удобства выделим полный квадрат. Представим 10 как сумму 9 и 1, чтобы выделить квадрат:

\[x^2 — 6x + 9 + 1\]

Теперь выделим полный квадрат:

\[(x — 3)^2 + 1\]

Пояснение: квадрат любого числа \((x — 3)^2 \geq 0\), а 1 — положительное число.

Значит, выражение всегда положительно.

Наименьшее значение достигается при \((x — 3)^2 = 0\), то есть при \(x — 3 = 0\),

\[x = 3\]

Тогда минимум равен

\[(x — 3)^2 + 1 = 0 + 1 = 1\]

2) Рассмотрим выражение

\[16x^2 + 24x + 25\]

Выделим полный квадрат, представив 25 как сумму 9 и 16:

\[16x^2 + 24x + 9 + 16\]

Теперь выделим квадрат:

\[(4x + 3)^2 + 16\]

Пояснение: квадрат \((4x + 3)^2 \geq 0\), а 16 — положительное число.

Значит, выражение всегда положительно.

Наименьшее значение достигается при \((4x + 3)^2 = 0\), то есть при \(4x + 3 = 0\),

\[x = -\frac{3}{4}\]

Тогда минимум равен

\[(4x + 3)^2 + 16 = 0 + 16 = 16\]

3) Рассмотрим выражение

\[x^2 + x + 1\]

Выделим полный квадрат, разбив 1 на \(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}\):

\[x^2 + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\]

Теперь выделим квадрат:

\[\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\]

Пояснение: квадрат \(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0\), а \(\frac{3}{4} > 0\).

Значит, выражение всегда положительно.

Наименьшее значение достигается при \(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = 0\), то есть при

\[x + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\]

Тогда минимум равен

\[\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\]


Алгебра

Общая оценка
4.1 / 5
Комментарии
Другие предметы