Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 646 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях х; укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х:
1) х2 — 6х + 10;
2) 16х2+24Х + 25;
3) х2+х + 1.
1) \[x^2 — 6x + 10 = x^2 — 6x + 9 + 1 = (x — 3)^2 + 1\]
\[(x — 3)^2 \geq 0, \, 1 > 0,\] следовательно, всё выражение положительное.
Наименьшее значение \((x — 3)^2 + 1 = 1\), при \(x — 3 = 0\), при \(x = 3\).
2) \[16x^2 + 24x + 25 = 16x^2 + 24x + 9 + 16 = (4x + 3)^2 + 16\]
\[(4x + 3)^2 \geq 0, \, 16 > 0,\] следовательно, всё выражение принимает положительное значение.
Наименьшее значение \((4x + 3)^2 + 16 = 16\), при \(4x + 3 = 0\), при \(x = -\frac{3}{4}\).
3) \[x^2 + x + 1 = x^2 + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\]
\[\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0, \, \frac{3}{4} > 0,\] следовательно, всё выражение принимает положительное значение.
Наименьшее значение \(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\), при \(x + \frac{1}{2} = 0\), при \(x = -\frac{1}{2}\).
1) Рассмотрим выражение
\[x^2 — 6x + 10\]
Для удобства выделим полный квадрат. Представим 10 как сумму 9 и 1, чтобы выделить квадрат:
\[x^2 — 6x + 9 + 1\]
Теперь выделим полный квадрат:
\[(x — 3)^2 + 1\]
Пояснение: квадрат любого числа \((x — 3)^2 \geq 0\), а 1 — положительное число.
Значит, выражение всегда положительно.
Наименьшее значение достигается при \((x — 3)^2 = 0\), то есть при \(x — 3 = 0\),
\[x = 3\]
Тогда минимум равен
\[(x — 3)^2 + 1 = 0 + 1 = 1\]
2) Рассмотрим выражение
\[16x^2 + 24x + 25\]
Выделим полный квадрат, представив 25 как сумму 9 и 16:
\[16x^2 + 24x + 9 + 16\]
Теперь выделим квадрат:
\[(4x + 3)^2 + 16\]
Пояснение: квадрат \((4x + 3)^2 \geq 0\), а 16 — положительное число.
Значит, выражение всегда положительно.
Наименьшее значение достигается при \((4x + 3)^2 = 0\), то есть при \(4x + 3 = 0\),
\[x = -\frac{3}{4}\]
Тогда минимум равен
\[(4x + 3)^2 + 16 = 0 + 16 = 16\]
3) Рассмотрим выражение
\[x^2 + x + 1\]
Выделим полный квадрат, разбив 1 на \(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}\):
\[x^2 + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\]
Теперь выделим квадрат:
\[\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\]
Пояснение: квадрат \(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0\), а \(\frac{3}{4} > 0\).
Значит, выражение всегда положительно.
Наименьшее значение достигается при \(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = 0\), то есть при
\[x + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\]
Тогда минимум равен
\[\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\]
Алгебра
