Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 648 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях х; укажите, какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х:
1) -х2 +4Х-12;
2) 22х — 121х2 — 2;
3) -56 — 36х2 — 84х.
1) \(-x^2 + 4x — 12 = -\left(x^2 — 4x + 4 + 8\right) = -(x — 2)^2 — 8\)
Знак минус перед квадратом двучлена говорит о том, что данное выражение принимает отрицательное значение.
Наибольшее значение: \(-(x — 2)^2 — 8 = -8\), при \(x — 2 = 0\), при \(x = 2\).
2) \(22x — 121x^2 — 2 = -\left(121x^2 — 22x + 1 + 1\right) = -(11x — 1)^2 — 1\)
Знак минус перед квадратом двучлена говорит о том, что данное выражение принимает отрицательное значение.
Наибольшее значение: \(-(11x — 1)^2 — 1 = -1\), при \(11x — 1 = 0\), при \(x = \frac{1}{11}\).
3) \(-56 — 36x^2 — 84x = -\left(36x^2 + 84x + 49 + 7\right) = -(6x + 7)^2 — 7\)
Знак минус перед квадратом двучлена говорит о том, что данное выражение принимает отрицательное значение.
Наибольшее значение: \(-(6x + 7)^2 — 7 = -7\), при \(6x + 7 = 0\), при \(x = -\frac{7}{6}\).
1) \( -x^2 + 4x — 12 = -\left(x^2 — 4x + 4 + 8\right) = -(x — 2)^2 — 8 \)
Объяснение:
Сначала вынесем минус перед скобками, чтобы изменить знаки внутри выражения.
Далее выделим полный квадрат внутри скобок: \(x^2 — 4x + 4\) — это квадрат двучлена \((x — 2)^2\).
При этом мы добавили 4, поэтому надо компенсировать, добавив 8, чтобы сохранить исходное выражение.
Итог — выражение принимает вид \( -(x — 2)^2 — 8 \).
Знак минус перед квадратом означает, что значение выражения всегда отрицательное или равно минус свободному члену.
Максимальное значение достигается, когда квадрат равен нулю, то есть при \(x — 2 = 0\), то есть при \(x = 2\).
Ответ: максимальное значение равно \(-8\) при \(x = 2\).
2) \( 22x — 121x^2 — 2 = -\left(121x^2 — 22x + 1 + 1\right) = -(11x — 1)^2 — 1 \)
Объяснение:
Сначала вынесем минус за скобки, поменяв знаки внутри.
Потом выделим полный квадрат внутри: \(121x^2 — 22x + 1 = (11x — 1)^2\).
Добавим и вычтем 1, чтобы сохранить равенство.
В итоге получаем \( -(11x — 1)^2 — 1 \).
Минус перед квадратом говорит, что выражение не может быть больше \(-1\).
Максимум достигается при \(11x — 1 = 0\), то есть при \(x = \frac{1}{11}\).
Ответ: максимальное значение равно \(-1\) при \(x = \frac{1}{11}\).
3) \( -56 — 36x^2 — 84x = -\left(36x^2 + 84x + 49 + 7\right) = -(6x + 7)^2 — 7 \)
Объяснение:
Сначала вынесем минус за скобки, изменив знаки внутри выражения.
Затем выделим полный квадрат: \(36x^2 + 84x + 49 = (6x + 7)^2\).
Мы добавили 49, поэтому добавляем 7, чтобы сохранить выражение.
Итог: выражение принимает вид \( -(6x + 7)^2 — 7 \).
Знак минус перед квадратом означает, что значение выражения всегда меньше или равно \(-7\).
Максимальное значение достигается при \(6x + 7 = 0\), то есть при \(x = -\frac{7}{6}\).
Ответ: максимальное значение равно \(-7\) при \(x = -\frac{7}{6}\).
Алгебра
