Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 649 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Может ли принимать положительные значения выражение:
1) -х2 + 20х — 100;
2) -х2 — 10 — 4х?
1) \(-x^2 + 20x — 100 = -(x^2 — 20x + 100) = -(x — 10)^2 \leq 0 \rightarrow\) не может принимать положительные значения.
2) \(-x^2 — 10 — 4x = -(x^2 + 4x + 10) = -(x^2 + 4x + 4 + 6) = -((x + 2)^2 + \)
\(+6) = -(x + 2)^2 — 6 < 0 \rightarrow\) не может принимать положительные значения.
1) \( -x^2 + 20x — 100 = -(x^2 — 20x + 100) = -(x — 10)^2 \leq 0 \rightarrow \) не может принимать положительные значения.
Сначала вынесем знак минус за скобки, изменив знаки внутри выражения: \(x^2 — 20x + 100\).
Далее заметим, что \(x^2 — 20x + 100\) — это полный квадрат двучлена, потому что \( (x — 10)^2 = x^2 — 20x + 100 \).
Поэтому исходное выражение можно записать как \( -(x — 10)^2 \).
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, выражение \( (x — 10)^2 \geq 0 \) для всех \(x\).
А минус перед квадратом гарантирует, что всё выражение будет меньше или равно нулю.
Отсюда следует, что \( -(x — 10)^2 \leq 0 \), то есть выражение не может принимать положительные значения.
Максимальное значение выражения равно нулю и достигается при \(x = 10\), когда квадрат равен нулю.
2)
\(-x^2 — 10 — 4x = -(x^2 + 4x + 10) = -(x^2 + 4x + 4 + 6) = -((x + 2)^2 + \)
\(+6) = -(x + 2)^2 — 6 < 0 \rightarrow\) не может принимать положительные значения.
Для начала вынесем минус за скобки: \(x^2 + 4x + 10\).
Затем выделим полный квадрат в выражении \(x^2 + 4x + 4\), так как \( (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \).
Добавляем и вычитаем 4, чтобы сохранить равенство, получая \(x^2 + 4x + 4 + 6\).
Таким образом получаем \( -((x + 2)^2 + 6) \), что равносильно \( -(x + 2)^2 — 6 \).
Поскольку \( (x + 2)^2 \geq 0 \) для любого \(x\), сумма \( (x + 2)^2 + 6 \) всегда строго положительна.
Минус перед этой суммой делает всё выражение строго отрицательным, то есть меньше нуля.
Отсюда следует, что выражение не может принимать положительные значения.
Максимальное значение выражения меньше нуля и достигается при \(x = -2\), когда квадрат равен нулю, и выражение равно \(-6\).
Алгебра
