ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 649 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Может ли принимать положительные значения выражение:

1) -х2 + 20х — 100;

2) -х2 — 10 — 4х?

1) \(-x^2 + 20x — 100 = -(x^2 — 20x + 100) = -(x — 10)^2 \leq 0 \rightarrow\) не может принимать положительные значения.

2) \(-x^2 — 10 — 4x = -(x^2 + 4x + 10) = -(x^2 + 4x + 4 + 6) = -((x + 2)^2 + \)

\(+6) = -(x + 2)^2 — 6 < 0 \rightarrow\) не может принимать положительные значения.

1) \( -x^2 + 20x — 100 = -(x^2 — 20x + 100) = -(x — 10)^2 \leq 0 \rightarrow \) не может принимать положительные значения.

Сначала вынесем знак минус за скобки, изменив знаки внутри выражения: \(x^2 — 20x + 100\).

Далее заметим, что \(x^2 — 20x + 100\) — это полный квадрат двучлена, потому что \( (x — 10)^2 = x^2 — 20x + 100 \).

Поэтому исходное выражение можно записать как \( -(x — 10)^2 \).

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, выражение \( (x — 10)^2 \geq 0 \) для всех \(x\).

А минус перед квадратом гарантирует, что всё выражение будет меньше или равно нулю.

Отсюда следует, что \( -(x — 10)^2 \leq 0 \), то есть выражение не может принимать положительные значения.

Максимальное значение выражения равно нулю и достигается при \(x = 10\), когда квадрат равен нулю.

2)

\(-x^2 — 10 — 4x = -(x^2 + 4x + 10) = -(x^2 + 4x + 4 + 6) = -((x + 2)^2 + \)

\(+6) = -(x + 2)^2 — 6 < 0 \rightarrow\) не может принимать положительные значения.

Для начала вынесем минус за скобки: \(x^2 + 4x + 10\).

Затем выделим полный квадрат в выражении \(x^2 + 4x + 4\), так как \( (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \).

Добавляем и вычитаем 4, чтобы сохранить равенство, получая \(x^2 + 4x + 4 + 6\).

Таким образом получаем \( -((x + 2)^2 + 6) \), что равносильно \( -(x + 2)^2 — 6 \).

Поскольку \( (x + 2)^2 \geq 0 \) для любого \(x\), сумма \( (x + 2)^2 + 6 \) всегда строго положительна.

Минус перед этой суммой делает всё выражение строго отрицательным, то есть меньше нуля.

Отсюда следует, что выражение не может принимать положительные значения.

Максимальное значение выражения меньше нуля и достигается при \(x = -2\), когда квадрат равен нулю, и выражение равно \(-6\).