Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 651 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение:
1) х2 — 28х + 200;
2) 9х2 + 30х — 25?
1) \(x^2 — 28x + 200 = x^2 — 28x + 196 + 4 = (x — 14)^2 + 4\)
Наименьшее значение: \((x — 14)^2 + 4 = 4\), при \(x — 14 = 0\), при \(x = 14\).
2) \(9x^2 + 30x — 25 = 9x^2 + 30x + 25 — 50 = (3x + 5)^2 — 50\)
Наименьшее значение: \((3x + 5)^2 — 50 = -50\), при \(3x + 5 = 0\), при \(x = -\frac{5}{3}\).
1) \( x^2 — 28x + 200 = x^2 — 28x + 196 + 4 = (x — 14)^2 + 4 \)
Сначала рассмотрим выражение \( x^2 — 28x + 200 \) и попробуем представить его в виде полного квадрата плюс константа.
Чтобы выделить полный квадрат, нужно найти такое число, которое, будучи добавленным и вычтенным, позволит сгруппировать первые три члена в квадрат двучлена.
Обращаем внимание, что \( (x — 14)^2 = x^2 — 2 \cdot 14 \cdot x + 14^2 = x^2 — 28x + 196 \).
Поэтому можно записать исходное выражение как \( x^2 — 28x + 196 + 4 \), чтобы не менять его значения, так как \(196 + 4 = 200\).
Выносим полный квадрат: \( (x — 14)^2 + 4 \).
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, выражение \( (x — 14)^2 \geq 0 \) для всех \( x \).
Минимальное значение достигается при \( (x — 14)^2 = 0 \), то есть при \( x — 14 = 0 \), следовательно \( x = 14 \).
Подставляя обратно, получаем минимальное значение: \( (14 — 14)^2 + 4 = 0 + 4 = 4 \).
Таким образом, выражение \( x^2 — 28x + 200 \) не может принимать значения меньше 4.
2) \( 9x^2 + 30x — 25 = 9x^2 + 30x + 25 — 50 = (3x + 5)^2 — 50 \)
Рассмотрим выражение \( 9x^2 + 30x — 25 \) и попытаемся выделить полный квадрат.
Обратим внимание, что \( (3x + 5)^2 = 9x^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5 + 25 = 9x^2 + 30x + 25 \).
Чтобы сохранить исходное выражение, перепишем его как \( 9x^2 + 30x + 25 — 50 \), так как \( 25 — 50 = -25 \).
Теперь выделим квадрат: \( (3x + 5)^2 — 50 \).
Квадрат \( (3x + 5)^2 \) всегда неотрицателен, то есть \( (3x + 5)^2 \geq 0 \) для всех \( x \).
Минимальное значение выражения достигается, когда квадрат равен нулю: \( 3x + 5 = 0 \), следовательно \( x = -\frac{5}{3} \).
Подставим \( x = -\frac{5}{3} \) обратно: \( (3 \cdot (-\frac{5}{3}) + 5)^2 — 50 = 0 — 50 = -50 \).
Следовательно, минимальное значение выражения \( 9x^2 + 30x — 25 \) равно \( -50 \).
Алгебра
