Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 653 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что выражение (а — 3b)(a — 3b — 4) + 4 принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.
\[
(a — 3b)(a — 3b — 4) + 4 = a^2 — 3ab — 4a — 3ab + 9b^2 + 12b + 4 =
\]
\[
= a^2 — 6ab — 4a + 12b + 9b^2 + 4 = (a^2 — 6ab + 9b^2) — 4a + 12b + 4 =
\]
\[
= (a — 3b)^2 — 4(a — 3b) + 4 = (a — 3b)^2 — 2 \cdot 2(a — 3b) + 2^2 =
\]
\[
= (a — 3b — 2)^2 = (a — 3b — 2)^2 \geq 0
\]
\(\Rightarrow\) любое число в квадрате всегда больше или равно нуля, следовательно, данное выражение принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.
\[
(a — 3b)(a — 3b — 4) + 4
\]
Шаг 1: Раскроем скобки, умножая каждое слагаемое первого множителя на каждый элемент второго:
\[
= (a — 3b) \cdot a — (a — 3b) \cdot 4 + 4
\]
То есть
\[
= a \cdot a — 3b \cdot a — 4a + 12b + 4
\]
Шаг 2: Выпишем подробно все слагаемые:
\[
= a^2 — 3ab — 4a + 12b + 4
\]
Шаг 3: Перепишем начальное выражение, чтобы было понятнее, как складывать и группировать:
\[
= a^2 — 3ab — 4a + 12b + 4 + (-3ab + 9b^2)
\]
Здесь добавляем и сразу вычитаем \(3ab\) и \(9b^2\), чтобы в дальнейшем выделить полный квадрат.
Шаг 4: Сложим подобные члены, сгруппировав их так, чтобы выделить квадрат двучлена:
\[
= (a^2 — 6ab + 9b^2) — 4a + 12b + 4
\]
Шаг 5: Заметим, что \(a^2 — 6ab + 9b^2\) — это квадрат двучлена \((a — 3b)^2\), так как:
\[
(a — 3b)^2 = a^2 — 2 \cdot a \cdot 3b + (3b)^2 = a^2 — 6ab + 9b^2
\]
Шаг 6: Подставим это в выражение:
\[
= (a — 3b)^2 — 4a + 12b + 4
\]
Шаг 7: Выделим из оставшихся членов множитель \(-4\):
\[
-4a + 12b = -4(a — 3b)
\]
Шаг 8: Теперь запишем выражение так:
\[
= (a — 3b)^2 — 4(a — 3b) + 4
\]
Шаг 9: Распознаём это как квадрат трёхчлена по формуле:
\[
x^2 — 2 \cdot 2 \cdot x + 2^2 = (x — 2)^2
\]
где \(x = a — 3b\).
Шаг 10: Значит, исходное выражение равно:
\[
= (a — 3b — 2)^2
\]
Шаг 11: Поскольку квадрат любого числа или выражения всегда неотрицателен, то:
\[
(a — 3b — 2)^2 \geq 0
\]
Итог: выражение принимает значения, которые не меньше нуля, для любых \(a\) и \(b\).
Алгебра
