ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 654 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Представьте в виде суммы квадратов двух выражений многочлен:

1)2а2-2а + 1;

2) а2 + b2 + 2a + 2b + 2;

3) х2 + 6х + у2 — 2у +10;

4) 10х2 — бху + y2;

5) х2 + by2 + 4ху — 4у + 4;

6) 2а2 + 2b2.

1) \[2a^2 — 2a + 1 = a^2 + a^2 — 2a + 1 = a^2 + (a — 1)^2\]

2) \[a^2 + b^2 + 2a + 2b + 2 = (a^2 + 2a + 1) + (b^2 + 2b + 1) =\]

\[(a + 1)^2 + (b + 1)^2\]

3) \[x^2 + 6x + y^2 — 2y + 10 = (x^2 + 6x + 9) + (y^2 — 2y + 1) = \]

\[(x + 3)^2 + (y — 1)^2\]

4) \[10x^2 — 6xy + y^2 = x^2 + 9x^2 — 6xy + y^2 = x^2 + (3x — y)^2\]

5) \[x^2 + 5y^2 + 4xy — 4y + 4 = (x^2 + 4xy + 4y^2) + (y^2 — 4y + 4) = \]

\[(x + 2y)^2 + (y — 2)^2\]

6) \[2a^2 + 2b^2 = a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + 2ab — 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) +\]

\[(a^2 — 2ab + b^2) = (a + b)^2 + (a — b)^2\]

Формулы сокращённого умножения:

• $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
• $(a + b)^2 + (a — b)^2 = 2a^2 + 2b^2$

1)

$$2a^2 — 2a + 1$$

Шаг 1: Разобьём:

$$2a^2 — 2a + 1 = a^2 + a^2 — 2a + 1$$

Шаг 2: Сгруппируем:

$$= a^2 + (a^2 — 2a + 1)$$

Шаг 3: Узнаём формулу:

$$a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2$$

Итог:

$$2a^2 — 2a + 1 = a^2 + (a — 1)^2$$

2)

$$a^2 + b^2 + 2a + 2b + 2$$

Шаг 1: Сгруппируем по переменным:

$$= (a^2 + 2a + 1) + (b^2 + 2b + 1)$$

Шаг 2: Узнаём формулы квадратов:

• $a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$
• $b^2 + 2b + 1 = (b + 1)^2$

Итог:

$$a^2 + b^2 + 2a + 2b + 2 = (a + 1)^2 + (b + 1)^2$$

3)

$$x^2 + 6x + y^2 — 2y + 10$$

Шаг 1: Группируем:

$$= (x^2 + 6x + 9) + (y^2 — 2y + 1)$$

Шаг 2: Добавим и вычтем нужные числа:

$$= (x^2 + 6x + 9) — 9 + (y^2 — 2y + 1) — 1 + 10$$ $$= (x + 3)^2 + (y — 1)^2$$

Пояснение:

• $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
• $y^2 — 2y + 1 = (y — 1)^2$

Итог:

$$x^2 + 6x + y^2 — 2y + 10 = (x + 3)^2 + (y — 1)^2$$

4)

$$10x^2 — 6xy + y^2$$

Шаг 1: Разделим 10x² как:

$$= x^2 + 9x^2 — 6xy + y^2$$

Шаг 2: Группируем:

$$= (x^2 — 6xy + y^2) + 9x^2$$

Шаг 3: Узнаём формулы:

• $x^2 — 6xy + y^2 = (x — y)^2 + 4xy$, но лучше здесь:
• $x^2 — 6xy + y^2 = (x — y)^2$, если $6xy = 2xy\cdot 3$

Подберём такое выражение:

$$10x^2 — 6xy + y^2 = x^2 + 9x^2 — 6xy + y^2 = x^2 + (3x — y)^2$$

Проверка:

$$(3x — y)^2 = 9x^2 — 6xy + y^2$$

Итог:

$$10x^2 — 6xy + y^2 = x^2 + (3x — y)^2$$

5)

$$x^2 + 5y^2 + 4xy — 4y + 4$$

Шаг 1: Сгруппируем:

$$= (x^2 + 4xy + 4y^2) + (y^2 — 4y + 4)$$

Шаг 2: Узнаём формулы:

• $x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2$
• $y^2 — 4y + 4 = (y — 2)^2$

Итог:

$$x^2 + 5y^2 + 4xy — 4y + 4 = (x + 2y)^2 + (y — 2)^2$$

6)

$$2a^2 + 2b^2 = a^2 + a^2 + b^2 + b^2$$ $$+ 2ab — 2ab \quad \text{(добавим и вычтем одно и то же)}$$

Сгруппируем:

$$= (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 — 2ab + b^2)$$

Шаг 2: Узнаём формулы:

• $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
• $a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2$

Итог:

$$2a^2 + 2b^2 = (a + b)^2 + (a — b)^2$$