Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 654 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Представьте в виде суммы квадратов двух выражений многочлен:
1)2а2-2а + 1;
2) а2 + b2 + 2a + 2b + 2;
3) х2 + 6х + у2 — 2у +10;
4) 10х2 — бху + y2;
5) х2 + by2 + 4ху — 4у + 4;
6) 2а2 + 2b2.
1) \[2a^2 — 2a + 1 = a^2 + a^2 — 2a + 1 = a^2 + (a — 1)^2\]
2) \[a^2 + b^2 + 2a + 2b + 2 = (a^2 + 2a + 1) + (b^2 + 2b + 1) =\]
\[(a + 1)^2 + (b + 1)^2\]
3) \[x^2 + 6x + y^2 — 2y + 10 = (x^2 + 6x + 9) + (y^2 — 2y + 1) = \]
\[(x + 3)^2 + (y — 1)^2\]
4) \[10x^2 — 6xy + y^2 = x^2 + 9x^2 — 6xy + y^2 = x^2 + (3x — y)^2\]
5) \[x^2 + 5y^2 + 4xy — 4y + 4 = (x^2 + 4xy + 4y^2) + (y^2 — 4y + 4) = \]
\[(x + 2y)^2 + (y — 2)^2\]
6) \[2a^2 + 2b^2 = a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + 2ab — 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) +\]
\[(a^2 — 2ab + b^2) = (a + b)^2 + (a — b)^2\]
1) \[
2a^2 — 2a + 1 = a^2 + a^2 — 2a + 1 = a^2 + (a — 1)^2
\]
Разложение начинается с разделения первого слагаемого на два одинаковых квадрата: \(2a^2 = a^2 + a^2\). Затем выделяем полный квадрат из части выражения \(-2a + 1\): добавляем и вычитаем \(1\), чтобы получить \(a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2\). Таким образом, исходное выражение можно представить как сумму двух квадратов, что гарантирует неотрицательное значение.
2) \[
a^2 + b^2 + 2a + 2b + 2 = (a^2 + 2a + 1) + (b^2 + 2b + 1)
\]
Добавляем и вычитаем единицу к каждому квадратному выражению, чтобы выделить полные квадраты:
- \(a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2\)
- \(b^2 + 2b + 1 = (b + 1)^2\)
Сложение этих квадратов даёт нам сумму двух квадратов, которая всегда больше или равна нулю, а исходное выражение равно их сумме.
3) \[
x^2 + 6x + y^2 — 2y + 10 = (x^2 + 6x + 9) + (y^2 — 2y + 1)
\]
Для выделения квадратов добавляем и вычитаем 9 и 1 соответственно:
- \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\)
- \(y^2 — 2y + 1 = (y — 1)^2\)
Константа 10 была разложена на 9 и 1, чтобы выделить полные квадраты. Таким образом, исходное выражение записывается как сумма квадратов, что обеспечивает его неотрицательность.
4) \[
10x^2 — 6xy + y^2 = x^2 + 9x^2 — 6xy + y^2
\]
Разложение выражения на сумму двух слагаемых: \(x^2\) и \(9x^2 — 6xy + y^2\). Второе выражение представляет собой полный квадрат двучлена:
- \(9x^2 — 6xy + y^2 = (3x — y)^2\)
Итого исходное выражение представлено как сумма квадратов \(x^2 + (3x — y)^2\), что гарантирует его неотрицательность.
5) \[
x^2 + 5y^2 + 4xy — 4y + 4 = (x^2 + 4xy + 4y^2) + (y^2 — 4y + 4)
\]
Группируем слагаемые для выделения квадратов:
- \(x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2\)
- \(y^2 — 4y + 4 = (y — 2)^2\)
Каждое из этих выражений является полным квадратом. Таким образом, исходное выражение — сумма двух квадратов, а значит, всегда неотрицательно.
6) \[
2a^2 + 2b^2 = a^2 + a^2 + b^2 + b^2
\]
Далее добавляем и вычитаем \(2ab\) для преобразования суммы в сумму квадратов двучленов:
- \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)
- \(a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2\)
Таким образом, исходное выражение можно представить как сумму двух квадратов:
\((a + b)^2 + (a — b)^2\), что, по определению, не может быть отрицательным для любых значений переменных.
Алгебра
