Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 723 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Разложите на множители:
1) х2(х — 2) — 18х(х — 2) + 81(х — 2);
2) 4х (у2 — 9) + 4х2 (у2 — 9) — 9 + у2;
3) b2(a + 1) — a2 (b + 1);
4) (a — b) (b2 — с2) — (b — с) (a2 — b2).
1) \(x^2(x-2) — 18x(x-2) + 81(x-2) = (x-2)(x^2 — 18x + 81) =\)
\(= (x-2)(x-9)^2\);
2) \(4x(y^2 — 9) + 4x^2(y^2 — 9) — 9 + y^2 = 4x(y^2 — 9) + 4x^2(y^2 — 9) +\)
\(+ (y^2 — 9) = (y^2 — 9)(4x + 4x^2 + 1) = (y-3)(y+3)(2x+1)^2\);
3) \(b^2(a + 1) — a^2(b + 1) = ab^2 + b^2 — a^2b — a^2 = ab(b — a) + b^2 -\)
\(- a^2 = ab(b-a) + (b-a)(b+a) = (b-a)(ab + b + a)\);
4) \((a-b)(b^2 — c^2) — (b-c)(a^2 — b^2) = (a-b)(b-c)(b+c) — (b-c)(a-b)\)
\((a+b) = (a-b)(b-c)(b+c — (a+b)) = (a-b)(b-c)(b+c — a — b) =\)
\((a-b)(b-c)(c-a)\).
Пример 1: \(x^2(x-2) — 18x(x-2) + 81(x-2) = (x-2)(x^2 — 18x + 81) =\)
\(=(x-2)(x-9)^2\);
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(x^2(x-2) — 18x(x-2) + 81(x-2)\)
Здесь можно выделить общий множитель \((x — 2)\):
\( = (x — 2)(x^2 — 18x + 81) \)
Шаг 2: Теперь разложим квадратное выражение \(x^2 — 18x + 81\) как полный квадрат:
\( = (x — 2)(x — 9)^2 \)
Пример 2: \(4x(y^2 — 9) + 4x^2(y^2 — 9) — 9 + y^2 = 4x(y^2 — 9) + 4x^2(y^2 — 9) + (y^2 — 9) = \)
\(=(y^2 — 9)(4x + 4x^2 + 1) = (y-3)(y+3)(2x+1)^2\);
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(4x(y^2 — 9) + 4x^2(y^2 — 9) — 9 + y^2\)
Можно сгруппировать выражения с \((y^2 — 9)\):
\( = 4x(y^2 — 9) + 4x^2(y^2 — 9) + (y^2 — 9) \)
Шаг 2: Выделяем общий множитель \((y^2 — 9)\):
\( = (y^2 — 9)(4x + 4x^2 + 1) \)
Шаг 3: Разкладываем \(y^2 — 9\) на множители как разность квадратов:
\( = (y — 3)(y + 3)(4x + 4x^2 + 1) \)
Шаг 4: Далее выделяем общий множитель из второй части выражения \((4x + 4x^2 + 1)\):
\( = (y — 3)(y + 3)(2x + 1)^2 \)
Пример 3: \(b^2(a + 1) — a^2(b + 1) = ab^2 + b^2 — a^2b — a^2 = ab(b — a) + b^2 — a^2 =\)
\(=ab(b-a) + (b-a)(b+a) = (b-a)(ab + b + a)\);
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\(b^2(a + 1) — a^2(b + 1)\)
Раскрываем скобки и группируем подобные члены:
\( = ab^2 + b^2 — a^2b — a^2 \)
Шаг 2: Группируем члены с общим множителем \(b-a\):
\( = ab(b — a) + b^2 — a^2 \)
Шаг 3: Разкладываем \(b^2 — a^2\) по формуле разности квадратов:
\( = ab(b — a) + (b — a)(b + a) \)
Шаг 4: Выделяем общий множитель \((b — a)\):
\( = (b — a)(ab + b + a) \)
Пример 4: \((a-b)(b^2 — c^2) — (b-c)(a^2 — b^2) = (a-b)(b-c)(b+c) — (b-c)\)
\((a-b)(a+b) = (a-b)(b-c)(b+c — (a+b)) = (a-b)(b-c)\)
\((b+c — a — b) =(a-b)(b-c)(c-a)\);
Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:
\((a-b)(b^2 — c^2) — (b-c)(a^2 — b^2)\)
Применяем разложение разности квадратов для \(b^2 — c^2\) и \(a^2 — b^2\):
\( = (a-b)(b-c)(b+c) — (b-c)(a-b)(a+b) \)
Шаг 2: Выделяем общий множитель \((a — b)(b — c)\):
\( = (a-b)(b-c)(b+c — (a+b)) \)
Шаг 3: Упрощаем выражение внутри скобок:
\( = (a-b)(b-c)(b+c — a — b) \)
Шаг 4: Упрощаем еще больше, приводя \(b+c — a — b\) к \(c — a\):
\( = (a-b)(b-c)(c-a) \)
Алгебра
