ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 728 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) (а + 2)3 — 25(а + 2) = (а + 2)(а + 7)(а — 3);

2) а2 + 2ab + b2 — с2 + 2cd — d2 = (а + b + с — d)(a + b — с + d).

1) \((a + 2)^3 — 25(a + 2) = (a + 2)(a + 7)(a — 3)\)

\((a + 2)((a + 2)^2 — 25) = (a + 2)(a + 7)(a — 3)\)

\((a + 2)(a + 2 — 5)(a + 2 + 5) = (a + 2)(a + 7)(a — 3)\)

\((a + 2)(a — 3)(a + 7) = (a + 2)(a + 7)(a — 3) \rightarrow\) что и требовалось доказать.

2) \(a^2 + 2ab + b^2 — c^2 + 2cd — d^2 = (a + b + c — d)(a + b — c + d)\)

\((a^2 + 2ab + b^2) — (c^2 — 2cd + d^2) = (a + b + c — d)(a + b — c + d)\)

\((a + b)^2 — (c — d)^2 = (a + b + c — d)(a + b — c + d)\)

\((a + b — c + d)(a + b + c — d) = (a + b + c — d)(a + b — c + d) \rightarrow\) что и требовалось доказать.

Пример 1: \((a + 2)^3 — 25(a + 2) = (a + 2)(a + 7)(a — 3)\)

Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:

\((a + 2)^3 — 25(a + 2)\)

Выносим общий множитель \((a + 2)\):

\( = (a + 2)((a + 2)^2 — 25) \)

Шаг 2: Разкладываем \( (a + 2)^2 — 25 \) как разность квадратов:

\( = (a + 2)(a + 2 — 5)(a + 2 + 5) \)

Шаг 3: Получаем следующее выражение:

\( = (a + 2)(a — 3)(a + 7) \)

Шаг 4: Сравниваем с правой частью уравнения:

\( (a + 2)(a — 3)(a + 7) = (a + 2)(a + 7)(a — 3) \)

Шаг 5: Мы видим, что обе части уравнения одинаковы, что и требовалось доказать.

Пример 2: \(a^2 + 2ab + b^2 — c^2 + 2cd — d^2 = (a + b + c — d)(a + b — c + d)\)

Шаг 1: Начинаем с исходного выражения:

\(a^2 + 2ab + b^2 — c^2 + 2cd — d^2\)

Группируем члены в два квадрата: \(a^2 + 2ab + b^2\) и \(c^2 — 2cd + d^2\):

\( = (a^2 + 2ab + b^2) — (c^2 — 2cd + d^2) \)

Шаг 2: Разкладываем \(a^2 + 2ab + b^2\) как полный квадрат, а \(c^2 — 2cd + d^2\) как разность квадратов:

\( = (a + b)^2 — (c — d)^2 \)

Шаг 3: Применяем разность квадратов для обеих частей:

\( = (a + b + c — d)(a + b — c + d) \)

Шаг 4: Получаем итоговое выражение, которое совпадает с правой частью уравнения:

\( (a + b — c + d)(a + b + c — d) = (a + b + c — d)(a + b — c + d) \)

Шаг 5: Мы видим, что обе части уравнения одинаковы, что и требовалось доказать.