Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 729 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Разложите выражение на множители двумя способами:
а) примените формулу разности квадратов;
б) раскройте скобки и примените метод группировки:
1) (ab +1)2 — (а + b)2;
2) (а + 2b)2 — (ab + 2)2.
1)
a) \((ab + 1)^2 — (a + b)^2 = (ab + 1 — a — b)(ab + 1 + a + b) =\)
\(( (ab — a) — (b — 1))((ab + a) + (1 + b)) = (a(b — 1) — (b — 1)) \cdot (a(b + 1) +\)
\(+(b + 1)) = (b — 1)(a — 1)(b + 1)(a + 1);\)
б) \((ab + 1)^2 — (a + b)^2 = a^2b^2 + 2ab + 1 — a^2 — 2ab — b^2 =\)
\((a^2b^2 — a^2 — b^2 + 1 = a^2(b^2 — 1) — (b^2 — 1) = (b^2 — 1)(a^2 — 1) =\)
\(=(b — 1)(b + 1)(a — 1)(a + 1).\)
2)
a) \((a + 2b)^2 — (ab + 2)^2 = (a + 2b — ab — 2)(a + 2b + ab + 2) =\)
\(((a — ab) + (2b — 2))((a + ab) + (2b + 2)) = (a(1 — b) — 2(1 — b)) \cdot\)
\(\cdot(a(1 + b) + 2(1 + b)) = (1 — b)(a — 2)(1 + b)(a + 2);\)
б) \((a + 2b)^2 — (ab + 2)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 — a^2b^2 — 4ab — 4 =\)
\((a^2 + 4b^2 — a^2b^2 — 4 = (a^2 — a^2b^2) + (4b^2 — 4) = a^2(1 — b^2) — 4(1 — b^2) =\)
\(=(1 — b^2)(a^2 — 4) = (1 — b)(1 + b)(a — 2)(a + 2).\)
Пример 1:
а) \((ab + 1)^2 — (a + b)^2 = (ab + 1 — a — b)(ab + 1 + a + b)\)
Шаг 1: Начинаем с выражения:
\( (ab + 1)^2 — (a + b)^2 \)
Используем формулу разности квадратов \( (x^2 — y^2) = (x — y)(x + y) \):
\( = (ab + 1 — a — b)(ab + 1 + a + b) \)
Шаг 2: Переписываем выражение более удобным способом:
\( = ((ab — a) — (b — 1))((ab + a) + (1 + b)) \)
Шаг 3: Теперь выделяем общий множитель \((b — 1)\) и \((a + 1)\) в соответствующих частях выражения:
\( = (b — 1)(a — 1)(b + 1)(a + 1) \)
Шаг 4: Это и есть итоговое разложение для части а).
б) \((ab + 1)^2 — (a + b)^2 = a^2b^2 + 2ab + 1 — a^2 — 2ab — b^2\)
Шаг 1: Начинаем с выражения:
\( (ab + 1)^2 — (a + b)^2 \)
Раскрываем скобки и упрощаем:
\( = a^2b^2 + 2ab + 1 — a^2 — 2ab — b^2 \)
Шаг 2: Группируем схожие члены:
\( = a^2b^2 — a^2 — b^2 + 1 \)
Шаг 3: Раскладываем \(a^2b^2 — a^2 — b^2 + 1\) на множители:
\( = a^2(b^2 — 1) — (b^2 — 1) \)
Используем разность квадратов для \(b^2 — 1\):
\( = (b^2 — 1)(a^2 — 1) \)
Разкладываем \(a^2 — 1\) как разность квадратов:
\( = (b — 1)(b + 1)(a — 1)(a + 1) \)
Шаг 4: Это и есть итоговое разложение для части б).
Пример 2:
а) \((a + 2b)^2 — (ab + 2)^2 = (a + 2b — ab — 2)(a + 2b + ab + 2)\)
Шаг 1: Начинаем с выражения:
\( (a + 2b)^2 — (ab + 2)^2 \)
Используем формулу разности квадратов для \( (x^2 — y^2) = (x — y)(x + y) \):
\( = (a + 2b — ab — 2)(a + 2b + ab + 2) \)
Шаг 2: Переписываем выражение более удобно:
\( = ((a — ab) + (2b — 2))((a + ab) + (2b + 2)) \)
Шаг 3: Теперь выделяем общий множитель \((1 — b)\) и \((1 + b)\) в соответствующих частях выражения:
\( = (1 — b)(a — 2)(1 + b)(a + 2) \)
Шаг 4: Это и есть итоговое разложение для части а).
б) \((a + 2b)^2 — (ab + 2)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 — a^2b^2 — 4ab — 4\)
Шаг 1: Начинаем с выражения:
\( (a + 2b)^2 — (ab + 2)^2 \)
Раскрываем скобки и упрощаем:
\( = a^2 + 4ab + 4b^2 — a^2b^2 — 4ab — 4 \)
Шаг 2: Группируем схожие члены:
\( = (a^2 — a^2b^2) + (4b^2 — 4) \)
Шаг 3: Раскладываем \(a^2 — a^2b^2\) и \(4b^2 — 4\) на множители:
\( = a^2(1 — b^2) — 4(1 — b^2) \)
Шаг 4: Выделяем общий множитель \((1 — b^2)\):
\( = (1 — b^2)(a^2 — 4) \)
Шаг 5: Разкладываем \(a^2 — 4\) как разность квадратов:
\( = (1 — b)(1 + b)(a — 2)(a + 2) \)
Шаг 6: Это и есть итоговое разложение для части б).
Алгебра
