ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 816 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если \( a + c = 2b \), то \( a^2 + 8bc = (2b + c)^2 \).

Если \(a + c = 2b\), то \(a^2 + 8bc = (2b + c)^2\).

\[
a^2 + 8bc = 4b^2 + 4bc + c^2
\]

\[
a^2 + 8bc — 4bc = 4b^2 + c^2
\]

\[
a^2 + 4bc = 4b^2 + c^2
\]

\[
a^2 = 4b^2 — 4bc + c^2
\]

\[
a^2 = (2b — c)^2.
\]

\(a + c = 2b\), \(a = 2b — c\), значит,

\[
a^2 = (2b — c)^2 \, \text{— что и требовалось доказать.}
\]

Задача:

Докажите, что если \( a + c = 2b \), то \( a^2 + 8bc = (2b + c)^2 \).

Решение:

Итак, дана гипотеза \( a + c = 2b \). Нам нужно доказать, что \( a^2 + 8bc = (2b + c)^2 \).

Шаг 1: Разкроем квадрат в правой части уравнения:

Правая часть уравнения — это \( (2b + c)^2 \), раскроем этот квадрат:

\[
(2b + c)^2 = 4b^2 + 4bc + c^2
\]

Шаг 2: Сравнение с левой частью:

Теперь у нас есть левая часть уравнения — это \( a^2 + 8bc \). Мы видим, что нужно показать, что:

\[
a^2 + 8bc = 4b^2 + 4bc + c^2
\]

Шаг 3: Упростим уравнение:

Переносим все члены с \( bc \) на одну сторону:

\[
a^2 + 8bc — 4bc = 4b^2 + c^2
\]

Получаем:

\[
a^2 + 4bc = 4b^2 + c^2
\]

Шаг 4: Изменение левой части:

Теперь мы видим, что нам нужно выразить \( a^2 \). Для этого вычитаем \( 4bc \) из обеих сторон:

\[
a^2 = 4b^2 — 4bc + c^2
\]

Шаг 5: Преобразование правой части:

Теперь заметим, что правая часть уравнения имеет вид квадрата: \( (2b — c)^2 \). Раскроем этот квадрат:

\[
(2b — c)^2 = 4b^2 — 4bc + c^2
\]

Шаг 6: Заключение:

Таким образом, мы доказали, что:

\[
a^2 = (2b — c)^2
\]

Теперь, учитывая, что \( a + c = 2b \), мы можем записать \( a = 2b — c \). Поэтому:

\[
a^2 = (2b — c)^2 \, \text{— что и требовалось доказать.}
\]

Ответ: \( a^2 + 8bc = (2b + c)^2 \), что и требовалось доказать.