ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 820 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В 60 цифрах есть хотя бы 6 одинаковых, а число, состоящее из 6 одинаковых цифр, делится на 1001.

В 60 цифрах есть хотя бы 6 одинаковых, а число, состоящее из 6 одинаковых цифр, делится на 1001.

Задача:

В 60 цифрах есть хотя бы 6 одинаковых, а число, состоящее из 6 одинаковых цифр, делится на 1001.

Решение:

Для начала рассмотрим числа, состоящие из 6 одинаковых цифр. Такие числа можно представить в виде:

\( dddddd = d \cdot (111111), \quad \text{где} \quad d — \text{цифра от 1 до 9.}\)

Итак, мы видим, что число состоит из шести одинаковых цифр, и оно можно записать в виде произведения цифры \( d \) и числа 111111:

\( ddddddd = d \cdot 111111\)

Теперь заметим, что \( 111111 \) делится на 1001. Для этого проведём деление \( 111111 \div 1001 \), и получим:

\( 111111 \div 1001 = 111\)

Это означает, что любое число, состоящее из шести одинаковых цифр, делится на 1001, поскольку это число всегда можно представить как \( d \cdot 111111 \), а число \( 111111 \) делится на 1001. Следовательно, результат деления будет делиться на 1001 для всех значений цифры \( d \) от 1 до 9.

Доказательство для 60 цифр:

Пусть у нас есть 60 цифр. Согласно утверждению задачи, в этих 60 цифрах есть хотя бы 6 одинаковых. Так как для любых 6 одинаковых цифр соответствующее число делится на 1001, это означает, что среди этих 60 цифр можно найти такое число, которое делится на 1001.

Ответ:

В 60 цифрах действительно есть хотя бы 6 одинаковых, и число, состоящее из этих 6 одинаковых цифр, делится на 1001.