Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 823 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На рисунке 25 изображён график функции \( y = f(x) \). Пользуясь графиком, найдите:
1) \( f(-4), f(-2.5), f(0.5), f(2) \);
2) значения \( x \), при которых \( f(x) = 2.5, f(x) = 1, f(x) = 0 \);
3) область определения и область значений функции;
4) значения аргумента, при которых значения функции положительные.
1) Значения функции в заданных точках:
— при f(-4), y = 3.5
— при f(-2.5), y = 2
— при f(0.5), y = 0
— при f(2), y = 0.5
2) Значения функции в заданных точках:
— при y = 2.5, f(x) = -3.5
— при y = 1, f(x) = -2, f(x) = 1, f(x) = 4
— при y = 0, f(x) = -0.5, f(x) = 0.5, f(x) = 2.5, f(x) = 3.5
3) Область определения: от -4 до 4.5 включительно
Область значения: от -1 до 3.5 включительно
4) При -4 ≤ x < -0.5; 0.5 < x < 2.5; 3.5 < x ≤ 4.5 функция принимает положительные значения.
5) При -0.5 < x < 0.5; 2.5 < x < 3.5 функция принимает отрицательные значения.
Задача:
На рисунке 25 изображён график функции \( y = f(x) \). Пользуясь графиком, найдите:
- 1) \( f(-4), f(-2.5), f(0.5), f(2) \);
- 2) Значения \( x \), при которых \( f(x) = 2.5, f(x) = 1, f(x) = 0 \);
- 3) Область определения и область значений функции;
- 4) Значения аргумента, при которых значения функции положительные.
Решение:
1) Найдем значения функции для заданных точек:
Используя график функции, извлекаем значения \( y \) для следующих значений \( x \):
- При \( x = -4 \), по графику \( y = 3.5 \). То есть, \( f(-4) = 3.5 \);
- При \( x = -2.5 \), по графику \( y = 2 \). То есть, \( f(-2.5) = 2 \);
- При \( x = 0.5 \), по графику \( y = 0 \). То есть, \( f(0.5) = 0 \);
- При \( x = 2 \), по графику \( y = 0.5 \). То есть, \( f(2) = 0.5 \);
Ответ:
- При \( x = -4 \), \( f(x) = 3.5 \);
- При \( x = -2.5 \), \( f(x) = 2 \);
- При \( x = 0.5 \), \( f(x) = 0 \);
- При \( x = 2 \), \( f(x) = 0.5 \);
2) Найдем значения \( x \), при которых \( f(x) = 2.5, f(x) = 1, f(x) = 0 \):
По графику определим, где функция принимает значения 2.5, 1 и 0. Эти точки будут соответствовать значениям \( x \), при которых функция равна данным значениям:
- При \( f(x) = 2.5 \), по графику \( x = -3.5 \);
- При \( f(x) = 1 \), по графику \( x = -2 \), \( x = 1 \), \( x = 4 \);
- При \( f(x) = 0 \), по графику \( x = -0.5 \), \( x = 0.5 \), \( x = 2.5 \), \( x = 3.5 \);
Ответ:
- При \( f(x) = 2.5 \), \( x = -3.5 \);
- При \( f(x) = 1 \), \( x = -2 \), \( x = 1 \), \( x = 4 \);
- При \( f(x) = 0 \), \( x = -0.5 \), \( x = 0.5 \), \( x = 2.5 \), \( x = 3.5 \);
3) Область определения и область значений функции:
Область определения: Мы видим, что график функции существует для значений \( x \) в интервале от -4.5 до 4.5. Это значит, что область определения функции — это \( x \in [-4.5, 4.5] \). То есть функция определена на этом промежутке.
Область значений: График функции достигает наибольшего значения \( y = 3.5 \) и наименьшего \( y = -3.5 \), поэтому область значений функции — это \( y \in [-3.5, 3.5] \).
Ответ:
- Область определения: \( x \in [-4.5, 4.5] \);
- Область значений: \( y \in [-3.5, 3.5] \);
4) Значения аргумента, при которых значения функции положительные:
Функция принимает положительные значения, когда \( y > 0 \). На графике видно, что функция положительна для \( x \) в следующих интервалах:
- При \( x \in [-3, 1.5) \) и при \( x \in (3, 4.5] \) функция положительная.
Ответ:
- При \( x \in [-3, 1.5) \cup (3, 4.5] \) функция положительная.
Ответ на задачу:
- 1) Значения \( f(x) \) для \( x = -4; -2.5; 0.5; 2 \):
- При \( x = -4 \), \( f(x) = 3.5 \);
- При \( x = -2.5 \), \( f(x) = 2 \);
- При \( x = 0.5 \), \( f(x) = 0 \);
- При \( x = 2 \), \( f(x) = 0.5 \);
- 2) Значения \( x \) при \( f(x) = 2.5, f(x) = 1, f(x) = 0 \):
- При \( f(x) = 2.5 \), \( x = -3.5 \);
- При \( f(x) = 1 \), \( x = -2 \), \( x = 1 \), \( x = 4 \);
- При \( f(x) = 0 \), \( x = -0.5 \), \( x = 0.5 \), \( x = 2.5 \), \( x = 3.5 \);
- 3) Область определения и область значений функции:
- Область определения: \( x \in [-4.5, 4.5] \);
- Область значений: \( y \in [-3.5, 3.5] \);
- 4) Значения аргумента, при которых значения функции положительные:
- При \( x \in [-3, 1.5) \cup (3, 4.5] \) функция положительная.
Алгебра