Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 831 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Графиком некоторой функции является ломаная \( MKE \), где \( M(-4; 1), K(2; 4), E(5; -2) \).
1) Постройте график данной функции.
2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно: \( -2; 0; 3 \).
3) Найдите значение \( x \), при котором \( y = -2; 0; 2 \).
1) График:
2) при \(x = -2, y = 2\).
при \(x = 0, y = 3\).
при \(x = 3, y = 2\).
3) при \(y = -2, x = 5\).
при \(y = 0, x = 4\).
при \(y = 2, x = -2, x = 3\).
Задача:
Графиком некоторой функции является ломаная \( MKE \), где \( M(-4; 1), K(2; 4), E(5; -2) \).
Решение:
1) Построение графика данной функции:
График функции представляет собой ломаную, то есть последовательность прямых отрезков, соединяющих точки \( M(-4; 1) \), \( K(2; 4) \), и \( E(5; -2) \). Эти отрезки являются участками графика функции на определённых интервалах:
Отрезок \( MK \) соединяет точки \( M(-4; 1) \) и \( K(2; 4) \);
Отрезок \( KE \) соединяет точки \( K(2; 4) \) и \( E(5; -2) \).
Для построения графика нужно будет нарисовать два отрезка, соединяющих эти точки, и соединить их в одной последовательности.
2) Найдите значение функции, если значение аргумента равно:
Для каждого значения \( x \) на графике функции найдем соответствующие значения \( y \), используя линейную интерполяцию между точками на отрезках ломаной.
При \( x = -2 \), точка лежит на отрезке \( MK \). Используем линейную интерполяцию между точками \( M(-4; 1) \) и \( K(2; 4) \). Сначала находим угловой коэффициент этого отрезка:
Коэффициент наклона (угловой коэффициент) для отрезка \( MK \):
\[
k = \frac{4 — 1}{2 — (-4)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]
Уравнение прямой, проходящей через точки \( M(-4; 1) \) и \( K(2; 4) \), будет:
\[
y — 1 = \frac{1}{2}(x + 4)
\]
Подставляем \( x = -2 \):
\[
y — 1 = \frac{1}{2}(-2 + 4) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1
\]
\[
y = 1 + 1 = 2
\]
Таким образом, \( f(-2) = 2 \).
При \( x = 0 \), точка лежит на отрезке \( MK \). Подставляем \( x = 0 \) в уравнение прямой \( MK \):
\[
y — 1 = \frac{1}{2}(0 + 4) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2
\]
\[
y = 1 + 2 = 3
\]
Таким образом, \( f(0) = 3 \).
При \( x = 3 \), точка лежит на отрезке \( KE \). Для отрезка \( KE \), соединяющего точки \( K(2; 4) \) и \( E(5; -2) \), находим угловой коэффициент:
\[
k = \frac{-2 — 4}{5 — 2} = \frac{-6}{3} = -2
\]
Уравнение прямой, проходящей через точки \( K(2; 4) \) и \( E(5; -2) \), будет:
\[
y — 4 = -2(x — 2)
\]
Подставляем \( x = 3 \):
\[
y — 4 = -2(3 — 2) = -2 \cdot 1 = -2
\]
\[
y = 4 — 2 = 2
\]
Таким образом, \( f(3) = 2 \).
Ответ для задачи 2:
При \( x = -2 \), \( f(x) = 2 \);
При \( x = 0 \), \( f(x) = 3 \);
При \( x = 3 \), \( f(x) = 2 \);
3) Найдите значение \( x \), при котором \( y = -2; 0; 2 \):
Для нахождения значений \( x \), при которых функция принимает значения \( y = -2 \), \( y = 0 \), и \( y = 2 \), мы должны решить соответствующие уравнения для каждого из этих значений \( y \).
При \( y = -2 \), решаем уравнение для отрезка \( KE \) (между точками \( K(2; 4) \) и \( E(5; -2) \)):
\[
y — 4 = -2(x — 2)
\]
Подставляем \( y = -2 \):
\[
-2 — 4 = -2(x — 2) \quad \Rightarrow \quad -6 = -2(x — 2)
\]
\[
3 = x — 2 \quad \Rightarrow \quad x = 5
\]
Таким образом, при \( y = -2 \), \( x = 5 \).
При \( y = 0 \), решаем уравнение для отрезка \( KE \):
\[
y — 4 = -2(x — 2)
\]
Подставляем \( y = 0 \):
\[
0 — 4 = -2(x — 2) \quad \Rightarrow \quad -4 = -2(x — 2)
\]
\[
2 = x — 2 \quad \Rightarrow \quad x = 4
\]
Таким образом, при \( y = 0 \), \( x = 4 \).
При \( y = 2 \), решаем уравнение для отрезка \( MK \):
\[
y — 1 = \frac{1}{2}(x + 4)
\]
Подставляем \( y = 2 \):
\[
2 — 1 = \frac{1}{2}(x + 4) \quad \Rightarrow \quad 1 = \frac{1}{2}(x + 4)
\]
\[
2 = x + 4 \quad \Rightarrow \quad x = -2
\]
Таким образом, при \( y = 2 \), \( x = -2 \).
Для \( y = 2 \) также решаем уравнение для отрезка \( MK \), подставляем \( x = 3 \) и получаем то же значение \( y = 2 \).
Ответ для задачи 3:
При \( y = -2 \), \( x = 5 \);
При \( y = 0 \), \( x = 4 \);
При \( y = 2 \), \( x = -2 \) и \( x = 3 \);
Алгебра