Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 902 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.
Пусть первое число \(n\), второе число \(n + 1\), третье число \(n + 2\).
Докажем, что сумма кубов данных чисел делится на 3:
\[
n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 = \]
\[=\frac{n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + n^3 + 6n^2 + 6n + 8}{3}
\]
\[
= \frac{3n^3 + 9n^2 + 9n + 9}{3} = \frac{3 \cdot (n^3 + 3n^2 + 3n + 3)}{3}
\]
\[
= n^3 + 3n^2 + 3n + 3
\]
Задача: Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.
Ответ:
Предположим, что у нас есть три последовательных натуральных числа, которые обозначим как \( n \), \( n+1 \) и \( n+2 \). Необходимо доказать, что сумма их кубов делится на 3.
Итак, рассмотрим сумму кубов этих трёх чисел:
\[
S = n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3
\]
Теперь раскроем кубы в этом выражении:
\[
S = n^3 + \left( n^3 + 3n^2 + 3n + 1 \right) + \left( n^3 + 6n^2 + 6n + 8 \right)
\]
Сложим все эти выражения:
\[
S = n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + n^3 + 6n^2 + 6n + 8
\]
Теперь упростим выражение, объединив одинаковые степени \( n \):
\[
S = 3n^3 + 9n^2 + 9n + 9
\]
Теперь вынесем общий множитель 3 из всех членов:
\[
S = 3(n^3 + 3n^2 + 3n + 3)
\]
Заметьте, что \( S \) теперь представлено как произведение 3 и некоторого выражения \( (n^3 + 3n^2 + 3n + 3) \). Поскольку это выражение умножается на 3, то оно однозначно делится на 3.
Таким образом, мы доказали, что сумма кубов трёх последовательных чисел делится на 3, так как всегда можно вынести множитель 3 из этого выражения, что делает его делимым на 3.
Ответ: Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 3.
Алгебра
