ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 904 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что \( x^2 + y^2 = a \), \( xy = b \). Чем равно значение выражения

\[
x^4 + x^2 y^2 + y^4?
\]

Если \(x^2 + y^2 = a\) и \(xy = b\), то:

\[
x^4 + x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 — 2x^2y^2 + x^2y^2 =
\]

\[
= (x^2 + y^2)^2 — x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 — (xy)^2 = a^2 — b^2.
\]

Ответ: \(x^4 + x^2y^2 + y^4 = a^2 — b^2\).

Дано, что \( x^2 + y^2 = a \) и \( xy = b \). Мы должны найти выражение для \( x^4 + x^2y^2 + y^4 \).

Для того чтобы упростить выражение, воспользуемся следующим методом. Обратите внимание, что выражение \( x^4 + x^2 y^2 + y^4 \) можно записать как:

\[
x^4 + x^2 y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 — x^2 y^2.
\]

Раскроем скобки в выражении \( (x^2 + y^2)^2 \):

\[
(x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2 y^2 + y^4.
\]

Теперь вернёмся к нашему исходному выражению \( x^4 + x^2 y^2 + y^4 \). Мы видим, что оно совпадает с частью раскрытого квадрата, за исключением дополнительного слагаемого \( 2x^2 y^2 \). Поэтому, вычитая \( x^2 y^2 \) из раскрытого квадрата, получаем:

\[
x^4 + x^2 y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 — x^2 y^2.
\]

Подставим \( x^2 + y^2 = a \) и \( xy = b \):

\[
x^4 + x^2 y^2 + y^4 = a^2 — (xy)^2.
\]

Так как \( xy = b \), то \( (xy)^2 = b^2 \). Таким образом, окончательно получаем:

\[
x^4 + x^2 y^2 + y^4 = a^2 — b^2.
\]

Ответ: \( x^4 + x^2 y^2 + y^4 = a^2 — b^2 \).