Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 905 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что при любом значении \( x \) значение выражения \( |x| — x \) больше соответствующего значения выражения \( 2x — x^2 — 2 \).
\(2x — x^2 — 2 = — (x^2 — 2x + 1 + 1) = — (x — 1)^2 — 1 < 0\),
так как
\(-(x — 1)^2 \leq 0, -1 < 0\).
\(|x| — x \geq 0\), так как \(|x| \geq x\).
Значит, \(|x| — x > 2x — x^2 — 2\).
Нам нужно доказать неравенство:
\[
|x| — x > 2x — x^2 — 2
\]
Разделим решение на два случая: когда \( x \geq 0 \) и когда \( x < 0 \), так как выражение \( |x| \) зависит от знака \( x \).
1) Когда \( x \geq 0 \):
Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \), и выражение \( |x| — x \) превращается в:
\[
|x| — x = x — x = 0
\]
Теперь рассмотрим выражение \( 2x — x^2 — 2 \). Для \( x \geq 0 \) это выражение можно переписать как:
\[
2x — x^2 — 2 = — (x^2 — 2x + 1 + 1) = — (x — 1)^2 — 1
\]
Так как \( (x — 1)^2 \geq 0 \) для всех значений \( x \), то:
\[
-(x — 1)^2 \leq 0, \quad -1 < 0
\]
Следовательно, \( 2x — x^2 — 2 \) всегда меньше 0 для любых значений \( x \geq 0 \).
Таким образом, мы имеем:
\[
|x| — x = 0 \quad \text{и} \quad 2x — x^2 — 2 < 0.
\]
Следовательно, для \( x \geq 0 \) выполняется:
\[
|x| — x \geq 0 > 2x — x^2 — 2.
\]
2) Когда \( x < 0 \):
Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \), и выражение \( |x| — x \) становится:
\[
|x| — x = -x — x = -2x.
\]
Теперь рассмотрим выражение \( 2x — x^2 — 2 \). Для \( x < 0 \) оно остаётся таким же:
\[
2x — x^2 — 2 = — (x^2 — 2x + 1 + 1) = — (x — 1)^2 — 1.
\]
Как и в предыдущем случае, \( (x — 1)^2 \geq 0 \) для всех \( x \), и следовательно:
\[
-(x — 1)^2 \leq 0, \quad -1 < 0.
\]
Таким образом, для \( x < 0 \) выражение \( 2x — x^2 — 2 \) всегда меньше 0. Также для \( x < 0 \), выражение \( -2x \) всегда больше 0, так как \( -2x > 0 \), так как \( x \) отрицательно.
Итак, для \( x < 0 \) выполняется:
\[
|x| — x = -2x > 2x — x^2 — 2.
\]
Заключение:
Таким образом, в обоих случаях (когда \( x \geq 0 \) и когда \( x < 0 \)) выполняется неравенство:
\[
|x| — x > 2x — x^2 — 2.
\]
Ответ: Мы доказали, что при любом значении \( x \) выполняется неравенство \( |x| — x > 2x — x^2 — 2 \).
Алгебра
