Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1001 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения \(2^{96} + 4^{100} — 2^{92} — 4^{98}\) кратно числу: 1) 15; 2) 240.
\[
2^{36} + 4^{100} — 2^{32} — 4^{98} = 2^{36} — 2^{32} + (2^2)^{100} — (2^2)^{98} =
\]
\[
= (2^{36} — 2^{32}) + (2^{200} — 2^{196}) = 2^{32} \cdot (2^4 — 1) + 2^{196} \cdot (2^4 — 1) =
\]
\[
= (2^4 — 1)(2^{32} + 2^{196}) = (16 — 1)(2^{32} + 2^{196}) = 15 \cdot (2^{32} + 2^{196}).
\]
1) Значит, значение выражения кратно 15, так как один из множителей кратен 15.
\[
2) 15 \cdot (2^{32} + 2^{196}) = 15 \cdot 24 \cdot (2^{28} + 2^{192}) = 15 \cdot 16 \cdot (2^{28} + 2^{192}) =
\]
\[
= 240 \cdot (2^{28} + 2^{192}),
\]
значит, значение выражения кратно 240, так как один из множителей кратен 240.
1) Кратность числу 15
Для начала упростим выражение \( 2^{96} + 4^{100} — 2^{92} — 4^{98} \).
Заметим, что \( 4 = 2^2 \), поэтому перепишем степени числа 4 в виде степеней числа 2:
\( 2^{96} + 4^{100} — 2^{92} — 4^{98} = 2^{96} + (2^2)^{100} — 2^{92} — (2^2)^{98} \)
Упростим:
\( 2^{96} + 2^{200} — 2^{92} — 2^{196} \)
Теперь сгруппируем подобные слагаемые:
\( (2^{96} — 2^{92}) + (2^{200} — 2^{196}) \)
Вынесем общий множитель:
\( 2^{92} \cdot (2^4 — 1) + 2^{196} \cdot (2^4 — 1) \)
Преобразуем \( 2^4 — 1 \):
\( 2^4 — 1 = 16 — 1 = 15 \)
Теперь у нас выражение:
\( (2^4 — 1)(2^{92} + 2^{196}) = 15 \cdot (2^{92} + 2^{196}) \)
Значит, выражение \( 2^{96} + 4^{100} — 2^{92} — 4^{98} \) кратно 15, так как один из множителей равен 15.
2) Кратность числу 240
Теперь рассмотрим кратность 240. Мы знаем, что:
\( 240 = 15 \cdot 16 \)
Мы уже показали, что выражение \( 2^{96} + 4^{100} — 2^{92} — 4^{98} \) кратно 15. Теперь покажем, что оно также кратно 16.
В выражении \( 15 \cdot (2^{92} + 2^{196}) \) нам нужно показать, что \( 2^{92} + 2^{196} \) делится на 16.
Вынесем общий множитель \( 2^{92} \):
\( 2^{92} + 2^{196} = 2^{92} \cdot (1 + 2^{104}) \)
Теперь рассмотрим выражение \( 1 + 2^{104} \). Так как \( 2^{104} \) — чётное число, то \( 1 + 2^{104} \) — нечётное. Однако, чтобы получить делимость на 16, достаточно, чтобы \( 2^{92} \) делилось на 16, что очевидно, так как \( 2^{92} = (2^4)^{23} \), а \( 2^4 = 16 \).
Значит, выражение \( 2^{92} + 2^{196} \) делится на 16, и следовательно, всё выражение \( 15 \cdot (2^{92} + 2^{196}) \) делится на \( 240 = 15 \cdot 16 \).
Ответ:
- Выражение \( 2^{96} + 4^{100} — 2^{92} — 4^{98} \) кратно 15.
- Выражение \( 2^{96} + 4^{100} — 2^{92} — 4^{98} \) кратно 240.
Алгебра
