ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1003 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Разложите на множители:

1) \(6x^3 — 8x^2 + 3xy — 4y\);
2) \(x^4 — 6x^2y + 9y^2 — 16\);
3) \(\frac{125x^3}{27} — \frac{m^6n^9}{64}\);
4) \(c^2 — 2c — b^2 — 4b — 3.\)

$\mathrm{1)\; 6}{x}^3-8x^2+3xy-4y=(6x^3+3xy)-(8x^2+4y)=3x(2x^2+y)-4(2x^2+y)=$

$6x^3 — 8x^2 + 3xy — 4y = (6x^3 + 3xy) — (8x^2 + 4y) = 3x(2x^2 + y) — 4(2x^2 + y) = (2x^2 + y)(3x — 4);$

${\mathrm{2)\; x}}^4-6x^{2}y+9y^2-16=(x^4-6x^{2}y+9y^2)-16=(x^2-3y{)}^2-16=$

$=(x^2-3y-4)(x^2-3y+4);$

3) $x^4 — 6x^2y + 9y^2 — 16 = (x^4 — 6x^2y + 9y^2) — 16 = (x^2 — 3y)^2 — 16 = (x^2 — 3y — 4)(x^2 — 3y + 4);$$\frac{125x^3}{27} — \frac{m^6n^9}{64} = \left(\frac{5x}{3}\right)^3 — \left(\frac{m^2n^3}{4}\right)^3 = \left(\frac{5x}{3} — \frac{m^2n^3}{4}\right) \cdot \left(\frac{25x^2}{9} + \frac{5xm^2n^3}{12} + \frac{m^4n^6}{16}\right);$

${\mathrm{4)\; c}}^2-2c-b^2-4b-3=c^2-2c+1-1-(b^2+4b+4)+4-3=(c-1{)}^2-(b+2{)}^2=$

$c^2 — 2c — b^2 — 4b — 3 = c^2 — 2c + 1 — 1 — (b^2 + 4b + 4) + 4 — 3 = (c — 1)^2 — (b + 2)^2 = (c — 1 — b — 2)(c — 1 + b + 2) = (c — b — 3)(c + b + 1).$

1)

Разложить выражение:

$$6x^3 — 8x^2 + 3xy — 4y$$

Шаг 1. Группируем слагаемые:

$$(6x^3 + 3xy) — (8x^2 + 4y)$$

Шаг 2. Вынесем общий множитель из каждой скобки:

• $6x^3 + 3xy = 3x(2x^2 + y)$
• $8x^2 + 4y = 4(2x^2 + y)$

Подставим:

$$3x(2x^2 + y) — 4(2x^2 + y)$$

Шаг 3. Вынесем общий множитель $(2x^2 + y)$:

$$(2x^2 + y)(3x — 4)$$

Ответ:

$$6x^3 — 8x^2 + 3xy — 4y = (2x^2 + y)(3x — 4)$$

2)

Разложить выражение:

$$x^4 — 6x^2y + 9y^2 — 16$$

Шаг 1. Заметим, что первые три слагаемых — это полный квадрат:

$$x^4 — 6x^2y + 9y^2 = (x^2 — 3y)^2$$

Шаг 2. Перепишем выражение с учётом квадрата:

$$(x^2 — 3y)^2 — 16$$

Шаг 3. Применим формулу разности квадратов:

$$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$$

где:

• $a = x^2 — 3y$,
• $b = 4$

$$(x^2 — 3y — 4)(x^2 — 3y + 4)$$

Ответ:

$$x^4 — 6x^2y + 9y^2 — 16 = (x^2 — 3y — 4)(x^2 — 3y + 4)$$

3)

Разложить разность кубов:

$$\frac{125x^3}{27} — \frac{m^6n^9}{64}$$

Шаг 1. Запишем каждое слагаемое как куб:

$$\left(\frac{5x}{3}\right)^3 — \left(\frac{m^2n^3}{4}\right)^3$$

Шаг 2. Применим формулу разности кубов:

$$a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)$$

где:

• $a = \frac{5x}{3}$,
• $b = \frac{m^2n^3}{4}$

Подставим:

Первая скобка:

$$\left(\frac{5x}{3} — \frac{m^2n^3}{4}\right)$$

Вторая скобка:

$$\left(\left(\frac{5x}{3}\right)^2 + \frac{5x}{3} \cdot \frac{m^2n^3}{4} + \left(\frac{m^2n^3}{4}\right)^2\right)$$

Вычислим каждое слагаемое:

• $\left(\frac{5x}{3}\right)^2 = \frac{25x^2}{9}$
• $\frac{5x \cdot m^2n^3}{12}$
• $\left(\frac{m^2n^3}{4}\right)^2 = \frac{m^4n^6}{16}$

Итог:

$$\left(\frac{5x}{3} — \frac{m^2n^3}{4}\right) \cdot \left(\frac{25x^2}{9} + \frac{5xm^2n^3}{12} + \frac{m^4n^6}{16}\right)$$

Ответ:

$$\frac{125x^3}{27} — \frac{m^6n^9}{64} = \left(\frac{5x}{3} — \frac{m^2n^3}{4}\right) \cdot \left(\frac{25x^2}{9} + \frac{5xm^2n^3}{12} + \frac{m^4n^6}{16}\right)$$

4)

Разложить выражение:

$$c^2 — 2c — b^2 — 4b — 3$$

Шаг 1. Группируем по переменным:

$$(c^2 — 2c) — (b^2 + 4b) — 3$$

Добавим и вычтем нужные числа, чтобы получить полные квадраты:

• $c^2 — 2c + 1 — 1 = (c — 1)^2 — 1$
• $b^2 + 4b + 4 — 4 = (b + 2)^2 — 4$

Подставим:

$$[(c — 1)^2 — 1] — [(b + 2)^2 — 4] — 3$$

Раскроем скобки:

$$(c — 1)^2 — 1 — (b + 2)^2 + 4 — 3$$

Соберём константы:

$$(c — 1)^2 — (b + 2)^2$$

Шаг 2. Применим формулу разности квадратов:

$$(a^2 — b^2) = (a — b)(a + b)$$

где:

• $a = c — 1$,
• $b = b + 2$

Тогда:

$$(c — 1 — (b + 2))(c — 1 + b + 2) = (c — b — 3)(c + b + 1)$$

Ответ:

$$c^2 — 2c — b^2 — 4b — 3 = (c — b — 3)(c + b + 1)$$

$$c^2 — 2c — b^2 — 4b — 3 = (c — b — 3)(c + b + 1)$$