Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1003 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Разложите на множители:
1) \(6x^3 — 8x^2 + 3xy — 4y\);
2) \(x^4 — 6x^2y + 9y^2 — 16\);
3) \(\frac{125x^3}{27} — \frac{m^6n^9}{64}\);
4) \(c^2 — 2c — b^2 — 4b — 3.\)
1)
\[
6x^3 — 8x^2 + 3xy — 4y = (6x^3 + 3xy) — (8x^2 + 4y) =\]
\[= 3x(2x^2 + y) — 4(2x^2 + y) = (2x^2 + y)(3x — 4).\]
2)
\[x^4 — 6x^2y + 9y^2 — 16 = (x^4 — 6x^2y + 9y^2) — 16 =\]
\[= (x^2 — 3y)^2 — 16 = (x^2 — 3y — 4)(x^2 — 3y + 4).\]
3)
\[
125x^3 \cdot \frac{m^6n^9}{27} = \left(\frac{5x}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{m^2n^3}{4}\right)^3 = \left(\frac{5x}{3} \cdot \frac{m^2n^3}{4}\right)^3.
\]
\[
\frac{25x^2}{12} \cdot \frac{5xm^2n^3}{12} + \frac{m^4n^6}{16};
\]
4)
\[c^2 — 2c — b^2 — 4b — 3 = c^2 — 2c + 1 — 1 — (b^2 + 4b + 4) + 4 — 3 =\]
\[= (c — 1)^2 — (b + 2)^2 = (c — 1 — b — 2)(c — 1 + b + 2) =\]
\[= (c — b — 3)(c + b + 1).\]
1) \(6x^3 — 8x^2 + 3xy — 4y\)
Для разложения на множители сгруппируем подобные слагаемые:
\( (6x^3 + 3xy) — (8x^2 + 4y) \)
Теперь вынесем общие множители в каждой группе:
\( 3x(2x^2 + y) — 4(2x^2 + y) \)
Теперь видим, что можно вынести общий множитель \( (2x^2 + y) \):
\( (2x^2 + y)(3x — 4) \)
Ответ: \( (2x^2 + y)(3x — 4) \).
2) \(x^4 — 6x^2y + 9y^2 — 16\)
Для начала сгруппируем слагаемые в два выражения:
\( (x^4 — 6x^2y + 9y^2) — 16 \)
Теперь заметим, что первая группа — это полный квадрат:
\( (x^2 — 3y)^2 \)
Таким образом, получаем выражение:
\( (x^2 — 3y)^2 — 16 \)
Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \):
\( (x^2 — 3y — 4)(x^2 — 3y + 4) \)
Ответ: \( (x^2 — 3y — 4)(x^2 — 3y + 4) \).
3) \( \frac{125x^3}{27} — \frac{m^6n^9}{64} \)
Рассмотрим каждый элемент выражения по отдельности. Мы можем записать \( 125x^3 \) как \( \left(\frac{5x}{3}\right)^3 \) и \( m^6n^9 \) как \( \left(\frac{m^2n^3}{4}\right)^3 \).
Подставляем и получаем:
\( \left(\frac{5x}{3}\right)^3 — \left(\frac{m^2n^3}{4}\right)^3 \)
Это разность кубов, которую можно разложить по формуле \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \):
\( \left( \frac{5x}{3} — \frac{m^2n^3}{4} \right) \left( \left( \frac{5x}{3} \right)^2 + \frac{5x}{3} \cdot \frac{m^2n^3}{4} + \left( \frac{m^2n^3}{4} \right)^2 \right) \)
Это разложение выражения на множители.
Ответ: \( \left( \frac{5x}{3} — \frac{m^2n^3}{4} \right) \left( \left( \frac{5x}{3} \right)^2 + \frac{5x}{3} \cdot \frac{m^2n^3}{4} + \left( \frac{m^2n^3}{4} \right)^2 \right) \).
4) \( c^2 — 2c — b^2 — 4b — 3 \)
Сначала сгруппируем похожие члены:
\( (c^2 — 2c + 1) — 1 — (b^2 + 4b + 4) + 4 — 3 \)
Заметим, что \( c^2 — 2c + 1 \) и \( b^2 + 4b + 4 \) — это полные квадраты:
\( (c — 1)^2 — (b + 2)^2 \)
Теперь это разность квадратов, и мы можем разложить её по формуле \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \):
\( (c — 1 — b — 2)(c — 1 + b + 2) \)
Упростим:
\( (c — b — 3)(c + b + 1) \)
Ответ: \( (c — b — 3)(c + b + 1) \).
Алгебра
