Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1005 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На рисунке 58 изображены графики уравнений \( y = x^3 \) и \( x — y + 2 = 0 \). Пользуясь этим рисунком, найдите все пары чисел, являющиеся решениями каждого из данных уравнений.
Решениями каждого уравнения являются пары чисел \((-1; 1)\) и \((2; 4)\) — так как данные точки — точки пересечения графиков.
1. Рассмотрим первое уравнение \( y = x^3 \), которое представляет собой график кубической функции. Этот график имеет вид плавной кривой, проходящей через начало координат (0,0) и характеризуется тем, что при положительных значениях \( x \) функция \( y \) также положительна, а при отрицательных — отрицательна.
2. Рассмотрим второе уравнение \( x — y + 2 = 0 \), которое можно преобразовать в \( y = x + 2 \). Это линейное уравнение, которое описывает прямую линию с угловым коэффициентом 1, пересекающую ось \( y \) в точке \( (0, 2) \).
3. Чтобы найти решения, необходимо найти точки пересечения графиков этих двух функций, то есть решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
y = x^3, \\
y = x + 2.
\end{cases}
\]
4. Приравниваем правые части уравнений:
\[
x^3 = x + 2.
\]
5. Переносим все члены в одну сторону:
\[
x^3 — x — 2 = 0.
\]
6. Решаем это кубическое уравнение. Попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные кандидаты для корней — это делители свободного члена (-2) и делители старшего коэффициента (1). То есть возможные корни — это \( \pm 1, \pm 2 \).
7. Проверим, подставив \( x = -1 \):
\[
(-1)^3 — (-1) — 2 = -1 + 1 — 2 = -2 \quad (\text{не подходит}).
\]
8. Проверим, подставив \( x = 2 \):
\[
2^3 — 2 — 2 = 8 — 2 — 2 = 4 \quad (\text{подходит}).
\]
9. Таким образом, \( x = 2 \) — корень уравнения. Проверим его для \( y \):
\[
y = 2^3 = 8.
\]
10. Подставив \( x = 2 \) в уравнение \( y = x + 2 \), получаем:
\[
y = 2 + 2 = 4.
\]
11. Таким образом, решениями являются пары чисел \( (-1; 1) \) и \( (2; 4) \), так как данные точки — точки пересечения графиков.
Ответ: Решениями каждого уравнения являются пары чисел \( (-1; 1) \) и \( (2; 4) \).
Алгебра
