ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1018 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

К уравнению \(2x — 3y = 6\) подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая:

1) имеет единственное решение;
2) имеет бесконечно много решений;
3) не имеет решений.

1) Имеет единственное решение — при пересечении прямых:

\[
\begin{cases}
2x — 3y = 6 \\
-2x — 3y = 6
\end{cases}
\]

2) Имеет бесконечно много решений — когда прямые совпадают:

\[
\begin{cases}
2x — 3y = 6 \\
x — 1.5y = 3
\end{cases}
\]

3) Не имеет решений — когда прямые параллельны:

\[
\begin{cases}
2x — 3y = 6 \\
-2x + 3y \neq 6
\end{cases}
\]

1) имеет единственное решение;

Для того чтобы система имела единственное решение, прямые, которые она описывает, должны пересекаться в одной точке. Это произойдет, если их угловые коэффициенты различны.

1.1 Пусть второе уравнение будет:

\[
-2x — 3y = 6
\]

Теперь рассмотрим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
2x — 3y = 6 \\
-2x — 3y = 6
\end{cases}
\]

1.2 Решим эту систему методом сложения. Складываем оба уравнения:

\[
(2x — 3y) + (-2x — 3y) = 6 + 6
\]

\[
0x — 6y = 12
\]

Из этого уравнения получаем, что \( -6y = 12 \), следовательно:

\[
y = -2
\]

Подставим \(y = -2\) в одно из уравнений, например, в первое уравнение \( 2x — 3y = 6 \):

\[
2x — 3(-2) = 6 \quad \Rightarrow \quad 2x + 6 = 6 \quad \Rightarrow \quad 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0
\]

Таким образом, точка пересечения прямых — \( (0, -2) \). Следовательно, система имеет единственное решение.

Ответ для 1) : Система имеет единственное решение:

\[
\begin{cases}
2x — 3y = 6 \\
-2x — 3y = 6
\end{cases}
\]

2) Имеет бесконечно много решений:

Для того чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпадать. Это произойдет, если второе уравнение будет пропорционально первому уравнению.

2.1 Пусть второе уравнение будет таким:

\[
x — 1.5y = 3
\]

Теперь рассмотрим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
2x — 3y = 6 \\
x — 1.5y = 3
\end{cases}
\]

2.2 Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \(x\) и \(y\) совпали с первым уравнением:

\[
2(x — 1.5y) = 2 \cdot 3 \quad \Rightarrow \quad 2x — 3y = 6
\]

Теперь у нас два одинаковых уравнения, следовательно, прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений.

Ответ для 2) : Система имеет бесконечно много решений:

\[
\begin{cases}
2x — 3y = 6 \\
x — 1.5y = 3
\end{cases}
\]

3) Не имеет решений:

Для того чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельными. Это произойдет, если угловые коэффициенты прямых будут одинаковыми, но их правые части будут различны.

3.1 Пусть второе уравнение будет:

\[
-2x + 3y \neq 6
\]

Теперь рассмотрим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
2x — 3y = 6 \\
-2x + 3y \neq 6
\end{cases}
\]

3.2 Мы видим, что угловые коэффициенты у обеих прямых одинаковы (\(2\) и \(-2\), а также \(-3\) и \(3\)), следовательно, прямые параллельны. Однако правые части уравнений различны: в первом уравнении \(6\), а во втором уравнении правая часть не равна \(6\). Это означает, что прямые не пересекаются, и система не имеет решений.

Ответ для 3) : Система не имеет решений:

\[
\begin{cases}
2x — 3y = 6 \\
-2x + 3y \neq 6
\end{cases}
\]

Общий итог:

1) Система имеет единственное решение, если прямые пересекаются. Пример системы:

\[
\begin{cases}
2x — 3y = 6 \\
-2x — 3y = 6
\end{cases}
\]

2) Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают. Пример системы:

\[
\begin{cases}
2x — 3y = 6 \\
x — 1.5y = 3
\end{cases}
\]

3) Система не имеет решений, если прямые параллельны. Пример системы:

\[
\begin{cases}
2x — 3y = 6 \\
-2x + 3y \neq 6
\end{cases}
\]