Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1019 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
К уравнению \(x — y = 2\) подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая:
1) имеет единственное решение;
2) имеет бесконечно много решений;
3) не имеет решений.
1) Имеет единственное решение — при пересечении прямых:
\[
\begin{cases}
x — y = 2 \\
x + y = 4
\end{cases}
\]
2) Имеет бесконечно много решений — когда прямые совпадают:
\[
\begin{cases}
x — y = 2 \\
5x — 5y = 10
\end{cases}
\]
3) Не имеет решений — когда прямые параллельны:
\[
\begin{cases}
x — y = 2 \\
-x + y \neq 2
\end{cases}
\]
1) Имеет единственное решение:
Для того чтобы система имела единственное решение, прямые, которые она описывает, должны пересекаться в одной точке. Это произойдет, если их угловые коэффициенты различны, то есть прямые не параллельны.
1.1 Пусть второе уравнение будет:
\[
x + y = 4
\]
Теперь рассмотрим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x — y = 2 \\
x + y = 4
\end{cases}
\]
1.2 Решим эту систему методом сложения. Складываем оба уравнения:
\[
(x — y) + (x + y) = 2 + 4
\]
В результате получаем:
\[
2x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 3
\]
Теперь подставим \(x = 3\) в одно из уравнений, например, в первое уравнение \(x — y = 2\):
\[
3 — y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 1
\]
Таким образом, точка пересечения прямых — \((3, 1)\), и система имеет единственное решение.
Ответ для 1): Система имеет единственное решение:
\[
\begin{cases}
x — y = 2 \\
x + y = 4
\end{cases}
\]
2) Имеет бесконечно много решений:
Для того чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпадать. Это произойдет, если второе уравнение будет пропорционально первому уравнению.
2.1 Пусть второе уравнение будет таким:
\[
5x — 5y = 10
\]
Теперь рассмотрим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x — y = 2 \\
5x — 5y = 10
\end{cases}
\]
2.2 Разделим второе уравнение на 5, чтобы оно стало пропорционально первому:
\[
\frac{5x — 5y}{5} = \frac{10}{5} \quad \Rightarrow \quad x — y = 2
\]
Теперь оба уравнения одинаковы, следовательно, прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений.
Ответ для 2): Система имеет бесконечно много решений:
\[
\begin{cases}
x — y = 2 \\
5x — 5y = 10
\end{cases}
\]
3) Не имеет решений:
Для того чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельными. Это произойдет, если угловые коэффициенты у прямых одинаковые, но их правые части различаются.
3.1 Пусть второе уравнение будет таким:
\[
-x + y \neq 2
\]
Теперь рассмотрим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x — y = 2 \\
-x + y \neq 2
\end{cases}
\]
3.2 Мы видим, что у нас два уравнения, которые описывают параллельные прямые. В первом уравнении \(x — y = 2\), а во втором \( -x + y \neq 2\). Угловые коэффициенты у этих прямых одинаковые, но правая часть во втором уравнении не равна 2, следовательно, прямые параллельны и не пересекаются.
Ответ для 3): Система не имеет решений, так как прямые параллельны:
\[
\begin{cases}
x — y = 2 \\
-x + y \neq 2
\end{cases}
\]
Общий итог:
1) Для первой системы уравнений: система имеет единственное решение.
2) Для второй системы уравнений: система имеет бесконечно много решений.
3) Для третьей системы уравнений: система не имеет решений, так как прямые параллельны.
Алгебра
