Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1023 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Подберите такие значения \(a\) и \(b\), при которых система уравнений:
\[
\begin{cases}
x — 2y = 3 \\
ax + 4y = b
\end{cases}
\]
1) имеет бесконечно много решений;
2) имеет единственное решение;
3) не имеет решений.
1) Имеет бесконечно много решений — когда прямые совпадают:
\[
\begin{cases}
x — 2y = 3 \quad | \cdot (-2) \\
ax + 4y = b
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
-2x + 4y = -6 \\
ax + 4y = b
\end{cases}
\]
Ответ: при \(a = -2\), \(b = -6\).
2) Имеет единственное решение — при пересечении прямых:
\[
\begin{cases}
x — 2y = 3 \quad | \cdot (-2) \\
ax + 4y = b
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
-2x + 4y = -6 \\
ax + 4y = b
\end{cases}
\]
Ответ: при \(a \neq -2\), \(b\) — любое число.
3) Не имеет решений — когда прямые параллельны:
\[
\begin{cases}
x — 2y = 3 \quad | \cdot (-2) \\
ax + 4y = b
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
-2x + 4y = -6 \\
ax + 4y = b
\end{cases}
\]
Ответ: при \(a = -2\), \(b \neq -6\).
\[
\begin{cases}
x — 2y = 3 \\
ax + 4y = b
\end{cases}
\]
1) Имеет бесконечно много решений:
Для того чтобы система имела бесконечно много решений, прямые, которые описывают уравнения, должны совпадать. Это происходит, когда второе уравнение пропорционально первому уравнению.
1.1 Умножим первое уравнение на \(-2\), чтобы привести его к виду, аналогичному второму уравнению:
\[
x — 2y = 3 \quad | \cdot (-2)
\]
Получаем:
\[
-2x + 4y = -6
\]
1.2 Теперь сравним оба уравнения:
\[
\begin{cases}
-2x + 4y = -6 \\
ax + 4y = b
\end{cases}
\]
1.3 Для того чтобы прямые совпали, коэффициенты при \(x\) и \(y\) должны быть одинаковыми в обоих уравнениях. То есть, \(a = -2\) и \(b = -6\). Таким образом, система будет иметь бесконечно много решений.
Ответ для 1): Система имеет бесконечно много решений, если \(a = -2\) и \(b = -6\).
2) Имеет единственное решение:
Для того чтобы система имела единственное решение, прямые должны пересекаться в одной точке. Это произойдет, если их угловые коэффициенты различны. В данном случае это означает, что \(a \neq -2\).
2.1 Умножим первое уравнение на \(-2\), чтобы привести его к виду, аналогичному второму уравнению:
\[
x — 2y = 3 \quad | \cdot (-2)
\]
Получаем:
\[
-2x + 4y = -6
\]
2.2 Теперь сравним оба уравнения:
\[
\begin{cases}
-2x + 4y = -6 \\
ax + 4y = b
\end{cases}
\]
2.3 Для того чтобы система имела единственное решение, коэффициент \(a\) не должен равняться \(-2\), так как если \(a = -2\), прямые совпадут. Таким образом, при \(a \neq -2\) система будет иметь единственное решение, а значение \(b\) может быть любым.
Ответ для 2): Система имеет единственное решение, если \(a \neq -2\), а \(b\) может быть любым числом.
3) Не имеет решений:
Для того чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельны. Это произойдет, если их угловые коэффициенты одинаковые, но правые части уравнений различны.
3.1 Умножим первое уравнение на \(-2\), чтобы привести его к виду, аналогичному второму уравнению:
\[
x — 2y = 3 \quad | \cdot (-2)
\]
Получаем:
\[
-2x + 4y = -6
\]
3.2 Теперь сравним оба уравнения:
\[
\begin{cases}
-2x + 4y = -6 \\
ax + 4y = b
\end{cases}
\]
3.3 Чтобы прямые были параллельны, коэффициенты при \(x\) и \(y\) должны быть одинаковыми. То есть, \(a = -2\). Однако, для того чтобы прямые не совпадали, правая часть второго уравнения должна быть отличной от \(-6\), то есть \(b \neq -6\).
Ответ для 3): Система не имеет решений, если \(a = -2\) и \(b \neq -6\).
Общий итог:
1) Для первой системы уравнений: система имеет бесконечно много решений, если \(a = -2\) и \(b = -6\).
2) Для второй системы уравнений: система имеет единственное решение, если \(a \neq -2\), а \(b\) может быть любым числом.
3) Для третьей системы уравнений: система не имеет решений, если \(a = -2\) и \(b \neq -6\).
Алгебра
