Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1024 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Подберите такие значения \(m\) и \(n\), при которых система уравнений:
\[
\begin{cases}
x + y = 5 \\
3x — my = n
\end{cases}
\]
1) имеет бесконечно много решений;
2) имеет единственное решение;
3) не имеет решений.
\[
\begin{cases}
x + y = 5 \quad | \cdot 3 \\
3x — my = n
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
3x + 3y = 15 \\
3x — my = n
\end{cases}
\]
1) Имеет бесконечно много решений — когда прямые совпадают:
Ответ: при \(m = -3\), \(n = 15\).
2) Имеет единственное решение — при пересечении прямых:
Ответ: при \(m \neq -3\), \(n\) — любое число.
3) Не имеет решений — когда прямые параллельны:
Ответ: при \(m = -3\), \(n \neq 15\).
1) Имеет бесконечно много решений:
Для того чтобы система имела бесконечно много решений, прямые, которые описывают уравнения, должны совпадать. Это произойдет, если второе уравнение пропорционально первому уравнению.
1.1 Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при \(x\) совпали с коэффициентами при \(x\) во втором уравнении:
\[
x + y = 5 \quad | \cdot 3
\]
Получаем:
\[
3x + 3y = 15
\]
1.2 Теперь сравним оба уравнения:
\[
\begin{cases}
3x + 3y = 15 \\
3x — my = n
\end{cases}
\]
1.3 Чтобы прямые совпали, коэффициенты при \(y\) должны быть одинаковыми, а правые части уравнений — равными. То есть, \(m = -3\) и \(n = 15\).
Ответ для 1): Система имеет бесконечно много решений, если \(m = -3\) и \(n = 15\).
2) Имеет единственное решение:
Для того чтобы система имела единственное решение, прямые должны пересекаться в одной точке. Это произойдет, если их угловые коэффициенты различны.
2.1 Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при \(x\) совпали с коэффициентами при \(x\) во втором уравнении:
\[
x + y = 5 \quad | \cdot 3
\]
Получаем:
\[
3x + 3y = 15
\]
2.2 Теперь сравним оба уравнения:
\[
\begin{cases}
3x + 3y = 15 \\
3x — my = n
\end{cases}
\]
2.3 Для того чтобы система имела единственное решение, коэффициент \(m\) не должен равняться \(-3\), потому что если \(m = -3\), прямые будут совпадать, и система будет иметь бесконечно много решений. Если \(m \neq -3\), прямые пересекаются в одной точке, и система имеет единственное решение. При этом значение \(n\) может быть любым.
Ответ для 2): Система имеет единственное решение, если \(m \neq -3\), а \(n\) может быть любым числом.
3) Не имеет решений:
Для того чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельными. Это произойдет, если угловые коэффициенты у прямых одинаковые, но их правые части различны.
3.1 Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при \(x\) совпали с коэффициентами при \(x\) во втором уравнении:
\[
x + y = 5 \quad | \cdot 3
\]
Получаем:
\[
3x + 3y = 15
\]
3.2 Теперь сравним оба уравнения:
\[
\begin{cases}
3x + 3y = 15 \\
3x — my = n
\end{cases}
\]
3.3 Чтобы прямые были параллельными, коэффициенты при \(y\) должны быть одинаковыми. То есть, \(m = -3\). Однако для того чтобы прямые не совпадали, правая часть второго уравнения должна быть отличной от 15, то есть \(n \neq 15\).
Ответ для 3): Система не имеет решений, если \(m = -3\) и \(n \neq 15\).
Общий итог:
1) Для первой системы уравнений: система имеет бесконечно много решений, если \(m = -3\) и \(n = 15\).
2) Для второй системы уравнений: система имеет единственное решение, если \(m \neq -3\), а \(n\) может быть любым числом.
3) Для третьей системы уравнений: система не имеет решений, если \(m = -3\) и \(n \neq 15\).
Алгебра
