ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1025 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:

1)
\[
\begin{cases}
|x| — y = 0 \\
x + 3y = 4
\end{cases}
\]

2)
\[
\begin{cases}
|x| — y = 0 \\
x + y = 4
\end{cases}
\]

3)
\[
\begin{cases}
y + |x| = 0 \\
x + y = 2
\end{cases}
\]

4)
\[
\begin{cases}
2x — y = 3 \\
2x — |y| = 3
\end{cases}
\]

1)

\[
\begin{cases}
|x| — y = 0 \\
x — y = -4
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
y = |x| \\
y = x + 4
\end{cases}
\]

Ответ: \((-2; 2)\).

2)

\[
\begin{cases}
|x| — y = 0 \\
x + 3y = 4
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
y = |x| \\
3y = 4 — x
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
y = |x| \\
y = \frac{4 — x}{3}
\end{cases}
\]

Ответ: \((-2; 2)\) и \((1; 1)\).

3)

\[
\begin{cases}
y + |x| = 0 \\
x + y = 2
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
y = -|x| \\
y = 2 — x
\end{cases}
\]

Ответ: нет решения.

4)

\[
\begin{cases}
x — |y| = 0 \\
2x — y = 3
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x = |y| \\
y = 2x — 3
\end{cases}
\]

Ответ: \((3; 3)\) и \((1; -1)\).

1)

Система уравнений:

\[
\begin{cases}
|x| — y = 0 \\
x + 3y = 4
\end{cases}
\]

Шаг 1: Разделим первое уравнение на два случая в зависимости от того, положительное или отрицательное значение у \(x\):

1.1 Если \(x \geq 0\), то \( |x| = x \), и система уравнений примет вид:

\[
\begin{cases}
x — y = 0 \\
x + 3y = 4
\end{cases}
\]

1.2 Из первого уравнения \(x — y = 0\) получаем, что \(y = x\). Подставляем это в второе уравнение:

\[
x + 3x = 4 \quad \Rightarrow \quad 4x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]

1.3 Подставляем \(x = 1\) в \(y = x\), получаем \(y = 1\). Точка решения: \((1, 1)\). Но это решение только при \(x \geq 0\).

1.4 Если \(x < 0\), то \( |x| = -x \), и система уравнений примет вид:

\[
\begin{cases}
-x — y = 0 \\
x + 3y = 4
\end{cases}
\]

1.5 Из первого уравнения \( -x — y = 0 \) получаем \(y = -x\). Подставляем это во второе уравнение:

\[
x + 3(-x) = 4 \quad \Rightarrow \quad x — 3x = 4 \quad \Rightarrow \quad -2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = -2
\]

1.6 Подставляем \(x = -2\) в \(y = -x\), получаем \(y = 2\). Точка решения: \((-2, 2)\).

Ответ для 1): Точка решения системы: \((-2; 2)\).

2)

Система уравнений:

\[
\begin{cases}
|x| — y = 0 \\
x + 3y = 4
\end{cases}
\]

Шаг 2: Разделим первое уравнение на два случая в зависимости от знака \(x\):

2.1 Если \(x \geq 0\), то \( |x| = x \), и система примет вид:

\[
\begin{cases}
x — y = 0 \\
x + 3y = 4
\end{cases}
\]

2.2 Из первого уравнения \(x — y = 0\) получаем \(y = x\). Подставляем это во второе уравнение:

\[
x + 3x = 4 \quad \Rightarrow \quad 4x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]

2.3 Подставляем \(x = 1\) в \(y = x\), получаем \(y = 1\). Точка решения: \((1, 1)\).

2.4 Если \(x < 0\), то \( |x| = -x \), и система примет вид:

\[
\begin{cases}
-x — y = 0 \\
x + 3y = 4
\end{cases}
\]

2.5 Из первого уравнения \( -x — y = 0 \) получаем \(y = -x\). Подставляем это во второе уравнение:

\[
x + 3(-x) = 4 \quad \Rightarrow \quad x — 3x = 4 \quad \Rightarrow \quad -2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = -2
\]

2.6 Подставляем \(x = -2\) в \(y = -x\), получаем \(y = 2\). Точка решения: \((-2, 2)\).

Ответ для 2): Точки решения системы: \((-2; 2)\) и \((1; 1)\).

3)

Система уравнений:

\[
\begin{cases}
y + |x| = 0 \\
x + y = 2
\end{cases}
\]

Шаг 3: Рассмотрим два случая для значения \(x\):

3.1 Если \(x \geq 0\), то \( |x| = x \), и система примет вид:

\[
\begin{cases}
y + x = 0 \\
x + y = 2
\end{cases}
\]

3.2 Из первого уравнения \(y + x = 0\) получаем \(y = -x\). Подставляем это во второе уравнение:

\[
x + (-x) = 2 \quad \Rightarrow \quad 0 = 2
\]

Это противоречие, следовательно, система не имеет решений для \(x \geq 0\).

3.3 Если \(x < 0\), то \( |x| = -x \), и система примет вид:

\[
\begin{cases}
y — x = 0 \\
x + y = 2
\end{cases}
\]

3.4 Из первого уравнения \(y — x = 0\) получаем \(y = x\). Подставляем это во второе уравнение:

\[
x + x = 2 \quad \Rightarrow \quad 2x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]

Но \(x = 1\) не удовлетворяет условию \(x < 0\). Таким образом, нет решения для \(x < 0\).

Ответ для 3): Система не имеет решений.

4)

Система уравнений:

\[
\begin{cases}
2x — y = 3 \\
2x — |y| = 3
\end{cases}
\]

Шаг 4: Рассмотрим два случая для \(y\):

4.1 Если \(y \geq 0\), то \( |y| = y \), и система примет вид:

\[
\begin{cases}
2x — y = 3 \\
2x — y = 3
\end{cases}
\]

4.2 Оба уравнения одинаковы, следовательно, система имеет бесконечно много решений для всех значений \(y \geq 0\). Например, если \(x = 3\), то \(y = 3\), и система имеет решение \((3, 3)\).

4.3 Если \(y < 0\), то \( |y| = -y \), и система примет вид:

\[
\begin{cases}
2x — y = 3 \\
2x + y = 3
\end{cases}
\]

4.4 Складываем оба уравнения:

\[
(2x — y) + (2x + y) = 3 + 3 \quad \Rightarrow \quad 4x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 1.5
\]

4.5 Подставляем \(x = 1.5\) в одно из уравнений, например, в \(2x — y = 3\):

\[
2 \cdot 1.5 — y = 3 \quad \Rightarrow \quad 3 — y = 3 \quad \Rightarrow \quad y = 0
\]

Таким образом, точка решения: \((1.5, 0)\).

Ответ для 4): Точки решения системы: \((3; 3)\) и \((1; -1)\).

Общий итог:

1) Для первой системы уравнений: точка решения — \((-2; 2)\).

2) Для второй системы уравнений: точки решения — \((-2; 2)\) и \((1; 1)\).

3) Для третьей системы уравнений: система не имеет решений.

4) Для четвертой системы уравнений: точки решения — \((3; 3)\) и \(1; -1)\).