ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1026 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:

1)
\[
\begin{cases}
x^2 — y^2 = 0 \\
x + 2y = 3
\end{cases}
\]

2)
\[
\begin{cases}
|y — 2x| = 3 \\
x — 2y = 0
\end{cases}
\]

3)
\[
\begin{cases}
x^2 — 2xy + y^2 = 4 \\
|x + y| = 2
\end{cases}
\]

1)

\[
\begin{cases}
x^2 — y^2 = 0 \\
x + 2y = 3
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
(x — y)(x + y) = 0 \\
2y = 3 — x
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
y = x \\
y = -x \\
y = 1.5 — 0.5x
\end{cases}
\]

Ответ: \((1; 1)\) и \((-3; 3)\).

2)

\[
\begin{cases}
|y — 2x| = 3 \\
x — 2y = 0
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
y — 2x = 3 \\
y — 2x = -3
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
y = 3 + 2x \\
y = 2x — 3 \\
y = 0.5x
\end{cases}
\]

Ответ: \((-2; -1)\) и \((2; 1)\).

3)

\[
\begin{cases}
x^2 — 2xy + y^2 = 4 \\
|x + y| = 2
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
(x — y)^2 = 4 \\
|x + y| = 2
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x — y = 2 \\
x — y = -2 \\
x + y = 2 \\
x + y = -2
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
y = x — 2 \\
y = x + 2 \\
y = 2 — x \\
y = -2 — x
\end{cases}
\]

Ответ: \((-2; 0)\), \((0; 2)\), \((2; 0)\), \((0; -2)\).

1)

Система уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 — y^2 = 0 \\
x + 2y = 3
\end{cases}
\]

Шаг 1: Рассмотрим первое уравнение. Оно представляет собой разность квадратов:

\[
x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) = 0
\]

Это уравнение будет выполнено, если хотя бы одно из множителей равно нулю, то есть:

\[
x — y = 0 \quad \text{или} \quad x + y = 0
\]

Шаг 2: Рассмотрим второе уравнение системы:

\[
x + 2y = 3 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3 — x}{2}
\]

Теперь у нас есть два случая, которые мы должны рассмотреть:

1. Если \(x — y = 0\), то \(y = x\). Подставим это в \(y = \frac{3 — x}{2}\):

\[
x = \frac{3 — x}{2}
\]

Умножаем обе части на 2:

\[
2x = 3 — x \quad \Rightarrow \quad 3x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]

Подставим \(x = 1\) в \(y = x\), получаем \(y = 1\). Таким образом, точка решения \((1, 1)\).

2. Если \(x + y = 0\), то \(y = -x\). Подставим это в \(y = \frac{3 — x}{2}\):

\[
-x = \frac{3 — x}{2}
\]

Умножаем обе части на 2:

\[
-2x = 3 — x \quad \Rightarrow \quad -x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = -3
\]

Подставим \(x = -3\) в \(y = -x\), получаем \(y = 3\). Таким образом, точка решения \((-3, 3)\).

Ответ для 1): Точки решения: \((1, 1)\) и \((-3, 3)\).

2)

Система уравнений:

\[
\begin{cases}
|y — 2x| = 3 \\
x — 2y = 0
\end{cases}
\]

Шаг 1: Раскроем абсолютное значение из первого уравнения. Мы получаем два случая:

1. \(y — 2x = 3\)

2. \(y — 2x = -3\)

Шаг 2: Второе уравнение \(x — 2y = 0\) можно выразить как:

\[
x = 2y
\]

Теперь подставим \(x = 2y\) в оба уравнения:

Для первого случая \(y — 2x = 3\), подставляем \(x = 2y\):

\[
y — 2(2y) = 3 \quad \Rightarrow \quad y — 4y = 3 \quad \Rightarrow \quad -3y = 3 \quad \Rightarrow \quad y = -1
\]

Подставим \(y = -1\) в \(x = 2y\), получаем \(x = -2\). Таким образом, точка решения \((-2, -1)\).

Для второго случая \(y — 2x = -3\), подставляем \(x = 2y\):

\[
y — 2(2y) = -3 \quad \Rightarrow \quad y — 4y = -3 \quad \Rightarrow \quad -3y = -3 \quad \Rightarrow \quad y = 1
\]

Подставим \(y = 1\) в \(x = 2y\), получаем \(x = 2\). Таким образом, точка решения \((2, 1)\).

Ответ для 2): Точки решения: \((-2, -1)\) и \((2, 1)\).

3)

Система уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 — 2xy + y^2 = 4 \\
|x + y| = 2
\end{cases}
\]

Шаг 1: Из второго уравнения раскроем абсолютное значение:

1. \(x + y = 2\)

2. \(x + y = -2\)

Шаг 2: Рассмотрим первое уравнение \(x^2 — 2xy + y^2 = 4\). Это можно переписать как:

\[
(x — y)^2 = 4
\]

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\[
\begin{cases}
x — y = 2 \quad \text{или} \quad x — y = -2 \\
x + y = 2 \quad \text{или} \quad x + y = -2
\end{cases}
\]

Шаг 3: Решим систему для каждого из случаев:

1. Если \(x — y = 2\) и \(x + y = 2\), складываем оба уравнения:

\[
(x — y) + (x + y) = 2 + 2 \quad \Rightarrow \quad 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]

Подставляем \(x = 2\) в \(x + y = 2\), получаем \(2 + y = 2\), следовательно, \(y = 0\). Таким образом, точка решения \((2, 0)\).

2. Если \(x — y = 2\) и \(x + y = -2\), складываем оба уравнения:

\[
(x — y) + (x + y) = 2 + (-2) \quad \Rightarrow \quad 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0
\]

Подставляем \(x = 0\) в \(x + y = -2\), получаем \(0 + y = -2\), следовательно, \(y = -2\). Таким образом, точка решения \((0, -2)\).

3. Если \(x — y = -2\) и \(x + y = 2\), складываем оба уравнения:

\[
(x — y) + (x + y) = -2 + 2 \quad \Rightarrow \quad 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0
\]

Подставляем \(x = 0\) в \(x + y = 2\), получаем \(0 + y = 2\), следовательно, \(y = 2\). Таким образом, точка решения \((0, 2)\).

4. Если \(x — y = -2\) и \(x + y = -2\), складываем оба уравнения:

\[
(x — y) + (x + y) = -2 + (-2) \quad \Rightarrow \quad 2x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -2
\]

Подставляем \(x = -2\) в \(x + y = -2\), получаем \(-2 + y = -2\), следовательно, \(y = 0\). Таким образом, точка решения \((-2, 0)\).

Ответ для 3): Точки решения: \((-2; 0)\), \((0; 2)\), \((2; 0)\), \((0; -2)\).

Общий итог:

1) Для первой системы уравнений: точки решения — \((1; 1)\) и \((-3; 3)\).

2) Для второй системы уравнений: точки решения — \((-2; -1)\) и \((2; 1)\).

3) Для третьей системы уравнений: точки решения — \((-2; 0)\), \((0; 2)\), \((2; 0)\), \((0; -2)\).