ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 140 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какие из данных равенств являются тождествами:
1) (2а — 3b)2 = (3b — 2а)2;
2) (а — b)3 = (b — а)3;
3) |а + 5| = а + 5;
4) |а — 6| = |b — а|;
5) |а2 + 4| = а2 + 4;
6) |а + b| = |а| + |b|;
7) |а — 1| = |a| — 1;
8) а2 — b2 = (а — b)2?

1) \((2a — 3b)^2 = (3b — 2a)^2\)

\(4a^2 — 12ab + 9b^2 = 9b^2 — 12ab + 4a^2\) — является тождеством.

2) \((a — b)^3 = (b — a)^3\)

\(a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 = b^3 — 3b^2a + 3ba^2 — a^3\) — не является тождеством.

3) \(|a + 5| = a + 5\) — не является тождеством.

4) \(|a — b| = |b — a|\) — является тождеством.

5) \(|a^2 + 4| = a^2 + 4\) — является тождеством.

6) \(|a + b| = |a| + |b|\) — не является тождеством.

7) \(|a — 1| = |a| — 1\) — не является тождеством.

8) \(a^2 — b^2 = (a — b)^2\)

\(a^2 — b^2 = a^2 — 2ab + b^2\) — не является тождеством.

Шаг 1: Рассматриваем выражение \((2a — 3b)^2 = (3b — 2a)^2\).

Решение: Раскрываем обе части выражения с использованием формулы квадрата разности \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\):

Для левой части: \((2a — 3b)^2 = 4a^2 — 12ab + 9b^2\).

Для правой части: \((3b — 2a)^2 = 9b^2 — 12ab + 4a^2\).

Теперь видим, что обе части одинаковы:

\(4a^2 — 12ab + 9b^2 = 9b^2 — 12ab + 4a^2\).

Ответ: Это тождество, так как обе стороны равны.

Шаг 2: Рассматриваем выражение \((a — b)^3 = (b — a)^3\).

Решение: Раскрываем обе части, используя формулу куба разности \((x — y)^3 = x^3 — 3x^2y + 3xy^2 — y^3\):

Для левой части: \((a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\).

Для правой части: \((b — a)^3 = b^3 — 3b^2a + 3ba^2 — a^3\).

Сравнивая обе стороны, мы видим, что они не равны:

\(a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 \neq b^3 — 3b^2a + 3ba^2 — a^3\).

Ответ: Это не тождество, так как обе стороны не равны.

Шаг 3: Рассматриваем выражение \(|a + 5| = a + 5\).

Решение: Абсолютное значение \(|a + 5|\) всегда неотрицательно. Однако, если \(a < -5\), то \(a + 5\) может быть отрицательным, и равенство не будет выполняться.

Ответ: Это не тождество, так как для \(a < -5\) выражение не выполняется.

Шаг 4: Рассматриваем выражение \(|a — b| = |b — a|\).

Решение: Абсолютное значение \(|a — b|\) всегда равно \(|b — a|\), так как абсолютное значение зависит только от расстояния между числами, а не от порядка их следования.

Ответ: Это тождество, так как \(|a — b| = |b — a|\) для всех значений \(a\) и \(b\).

Шаг 5: Рассматриваем выражение \(|a^2 + 4| = a^2 + 4\).

Решение: Абсолютное значение \(|a^2 + 4|\) всегда равно \(a^2 + 4\), так как \(a^2 + 4\) всегда положительно для всех значений \(a\).

Ответ: Это тождество, так как \(|a^2 + 4| = a^2 + 4\) для всех значений \(a\).

Шаг 6: Рассматриваем выражение \(|a + b| = |a| + |b|\).

Решение: Это не тождество. По свойствам абсолютного значения, \(|a + b| \leq |a| + |b|\), но равенство выполняется только в случае, если \(a\) и \(b\) имеют одинаковые знаки. Например, для \(a = -2\) и \(b = 3\), \(|a + b| = |1| = 1\), но \(|a| + |b| = 2 + 3 = 5\).

Ответ: Это не тождество, так как равенство не выполняется всегда.

Шаг 7: Рассматриваем выражение \(|a — 1| = |a| — 1\).

Решение: Это не тождество. Для \(a = 2\), \(|a — 1| = |1| = 1\), а \(|a| — 1 = 2 — 1 = 1\). Но для \(a = -2\), \(|a — 1| = | -3| = 3\), а \(|a| — 1 = 2 — 1 = 1\), то есть равенство не выполняется.

Ответ: Это не тождество, так как равенство не выполняется для всех значений \(a\).

Шаг 8: Рассматриваем выражение \(a^2 — b^2 = (a — b)^2\).

Решение: Мы знаем, что \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), а \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Эти выражения не равны, потому что у них разные составные части.

Ответ: Это не тождество, так как \(a^2 — b^2 \neq (a — b)^2\).