Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 140 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Какие из данных равенств являются тождествами:
1) (2а — 3b)2 = (3b — 2а)2;
2) (а — b)3 = (b — а)3;
3) |а + 5| = а + 5;
4) |а — 6| = |b — а|;
5) |а2 + 4| = а2 + 4;
6) |а + b| = |а| + |b|;
7) |а — 1| = |a| — 1;
8) а2 — b2 = (а — b)2?
1) \((2a — 3b)^2 = (3b — 2a)^2\)
\(4a^2 — 12ab + 9b^2 = 9b^2 — 12ab + 4a^2\) — является тождеством.
2) \((a — b)^3 = (b — a)^3\)
\(a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 = b^3 — 3b^2a + 3ba^2 — a^3\) — не является тождеством.
3) \(|a + 5| = a + 5\) — не является тождеством.
4) \(|a — b| = |b — a|\) — является тождеством.
5) \(|a^2 + 4| = a^2 + 4\) — является тождеством.
6) \(|a + b| = |a| + |b|\) — не является тождеством.
7) \(|a — 1| = |a| — 1\) — не является тождеством.
8) \(a^2 — b^2 = (a — b)^2\)
\(a^2 — b^2 = a^2 — 2ab + b^2\) — не является тождеством.
Шаг 1: Рассматриваем выражение \((2a — 3b)^2 = (3b — 2a)^2\).
Решение: Раскрываем обе части выражения с использованием формулы квадрата разности \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\):
Для левой части: \((2a — 3b)^2 = 4a^2 — 12ab + 9b^2\).
Для правой части: \((3b — 2a)^2 = 9b^2 — 12ab + 4a^2\).
Теперь видим, что обе части одинаковы:
\(4a^2 — 12ab + 9b^2 = 9b^2 — 12ab + 4a^2\).
Ответ: Это тождество, так как обе стороны равны.
Шаг 2: Рассматриваем выражение \((a — b)^3 = (b — a)^3\).
Решение: Раскрываем обе части, используя формулу куба разности \((x — y)^3 = x^3 — 3x^2y + 3xy^2 — y^3\):
Для левой части: \((a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\).
Для правой части: \((b — a)^3 = b^3 — 3b^2a + 3ba^2 — a^3\).
Сравнивая обе стороны, мы видим, что они не равны:
\(a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 \neq b^3 — 3b^2a + 3ba^2 — a^3\).
Ответ: Это не тождество, так как обе стороны не равны.
Шаг 3: Рассматриваем выражение \(|a + 5| = a + 5\).
Решение: Абсолютное значение \(|a + 5|\) всегда неотрицательно. Однако, если \(a < -5\), то \(a + 5\) может быть отрицательным, и равенство не будет выполняться.
Ответ: Это не тождество, так как для \(a < -5\) выражение не выполняется.
Шаг 4: Рассматриваем выражение \(|a — b| = |b — a|\).
Решение: Абсолютное значение \(|a — b|\) всегда равно \(|b — a|\), так как абсолютное значение зависит только от расстояния между числами, а не от порядка их следования.
Ответ: Это тождество, так как \(|a — b| = |b — a|\) для всех значений \(a\) и \(b\).
Шаг 5: Рассматриваем выражение \(|a^2 + 4| = a^2 + 4\).
Решение: Абсолютное значение \(|a^2 + 4|\) всегда равно \(a^2 + 4\), так как \(a^2 + 4\) всегда положительно для всех значений \(a\).
Ответ: Это тождество, так как \(|a^2 + 4| = a^2 + 4\) для всех значений \(a\).
Шаг 6: Рассматриваем выражение \(|a + b| = |a| + |b|\).
Решение: Это не тождество. По свойствам абсолютного значения, \(|a + b| \leq |a| + |b|\), но равенство выполняется только в случае, если \(a\) и \(b\) имеют одинаковые знаки. Например, для \(a = -2\) и \(b = 3\), \(|a + b| = |1| = 1\), но \(|a| + |b| = 2 + 3 = 5\).
Ответ: Это не тождество, так как равенство не выполняется всегда.
Шаг 7: Рассматриваем выражение \(|a — 1| = |a| — 1\).
Решение: Это не тождество. Для \(a = 2\), \(|a — 1| = |1| = 1\), а \(|a| — 1 = 2 — 1 = 1\). Но для \(a = -2\), \(|a — 1| = | -3| = 3\), а \(|a| — 1 = 2 — 1 = 1\), то есть равенство не выполняется.
Ответ: Это не тождество, так как равенство не выполняется для всех значений \(a\).
Шаг 8: Рассматриваем выражение \(a^2 — b^2 = (a — b)^2\).
Решение: Мы знаем, что \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), а \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Эти выражения не равны, потому что у них разные составные части.
Ответ: Это не тождество, так как \(a^2 — b^2 \neq (a — b)^2\).
Алгебра