ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 195 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения:
1) 101^101 + 103^103 делится нацело на 2;
2) 16^7 + 15^8 — 11^9 делится нацело на 10;
3) 10^10 — 7 делится нацело на 3;
4) 6n — 1 делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.

1) 101¹⁰¹ + 103¹⁰³, так как 101¹⁰¹ и 103¹⁰³ — нечетные числа, то сумма двух нечетных чисел — четное число, а четное число делится на 2.

2) 16⁷ + 15⁸ — 11⁹, 16⁷ — оканчивается на 6, 15⁸ — оканчивается на 1, 11⁹ — оканчивается 1, значит, все выражение оканчивается на 0, следовательно, делится на 10.

3) 10¹⁰ — 7, так как 10¹⁰ имеет 1 и 10 нулей, то при вычитании 7 получится число, состоящее из девяти девяток и трех, следовательно, выражение делится на 3.

4) 6ⁿ — 1, так как число 6 в любой степени будет оканчиваться на цифру 6, и, если вычесть единицу, получится число, оканчивающееся цифрой 5, значит, выражение делится на 5.

1) \( 101^{101} + 103^{103} \), так как \( 101^{101} \) и \( 103^{103} \) — нечетные числа, то сумма двух нечетных чисел — четное число, а четное число делится на 2.

Шаг 1: Рассмотрим числа \( 101^{101} \) и \( 103^{103} \). Оба числа являются нечетными, так как их основания (101 и 103) нечетные, а степень — нечётная.

Шаг 2: Сумма двух нечетных чисел всегда будет четным числом. Это можно доказать следующим образом: нечетные числа имеют вид \( 2k + 1 \), где \( k \) — целое число. Сложив два нечетных числа, получаем:

\( (2k + 1) + (2m + 1) = 2(k + m + 1) \), что является четным числом.

Шаг 3: Поскольку сумма \( 101^{101} + 103^{103} \) является четным числом, она делится на 2.

2) \( 16^{7} + 15^{8} — 11^{9} \), \( 16^{7} \) — оканчивается на 6, \( 15^{8} \) — оканчивается на 1, \( 11^{9} \) — оканчивается на 1, значит, все выражение оканчивается на 0, следовательно, делится на 10.

Шаг 1: Рассматриваем степени чисел \( 16^7 \), \( 15^8 \) и \( 11^9 \). Для начала анализируем, на какие цифры оканчиваются эти числа:

— \( 16^{7} \) оканчивается на 6, так как \( 16^n \) для любого \( n \) оканчивается на 6 (16, 16^2, 16^3 и так далее).
— \( 15^{8} \) оканчивается на 1, так как \( 15^n \) для любого \( n \) оканчивается на 5, а 5 в четной степени оканчивается на 1.
— \( 11^{9} \) оканчивается на 1, так как \( 11^n \) для любого \( n \) оканчивается на 1.

Шаг 2: Теперь складываем последние цифры этих чисел:

6 (последняя цифра \( 16^7 \)) + 1 (последняя цифра \( 15^8 \)) — 1 (последняя цифра \( 11^9 \)) = 6

Шаг 3: Так как сумма оканчивается на 0, это означает, что все выражение делится на 10.

3) \( 10^{10} — 7 \), так как \( 10^{10} \) имеет 1 и 10 нулей, то при вычитании 7 получится число, состоящее из девяти девяток и трёх, следовательно, выражение делится на 3.

Шаг 1: Рассматриваем число \( 10^{10} \), которое имеет вид 10000000000 — число с 10 нулями.

Шаг 2: Вычитаем 7:

10000000000 — 7 = 9999999993

Шаг 3: Полученное число состоит из девяти девяток и тройки, то есть оно делится на 3, так как сумма цифр числа \( 9999999993 \) равна 45 (9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 3 = 45), а 45 делится на 3.

4) \( 6^{n} — 1 \), так как число 6 в любой степени будет оканчиваться на цифру 6, и, если вычесть единицу, получится число, оканчивающееся цифрой 5, значит, выражение делится на 5.

Шаг 1: Рассматриваем выражение \( 6^{n} — 1 \). Число 6 в любой степени оканчивается на цифру 6, например: \( 6^1 = 6 \), \( 6^2 = 36 \), \( 6^3 = 216 \) и так далее.

Шаг 2: Вычитаем 1 из \( 6^{n} \), и получаем число, которое оканчивается на цифру 5. Например:

— \( 6^1 — 1 = 6 — 1 = 5 \)
— \( 6^2 — 1 = 36 — 1 = 35 \)
— \( 6^3 — 1 = 216 — 1 = 215 \)

Шаг 3: Поскольку все такие числа оканчиваются на 5, они делятся на 5.